Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的三個頂點(diǎn)，，，以為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動時間為秒，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

當(dāng)為何值時，的面積最大？最大值為多少？

點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)為何值時，在線段上存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】； 時，的最大值為．以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，或．

【解析】

(1)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)同B點(diǎn)，縱坐標(biāo)同D點(diǎn)，然后設(shè)頂點(diǎn)式求解拋物線即可；

(2)求解直線的解析式為，設(shè)從而表示出M和N的坐標(biāo)；將的面積拆分為和兩部分進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)本問題分在上方和下方兩種情況討論，利用四邊形是菱形的四邊相等條件，將相關(guān)線段用t表示；當(dāng)在上方時，運(yùn)用三角形相似進(jìn)行求解，當(dāng)在下方時，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解.

，

由題意知，可設(shè)拋物線解析式為

∵拋物線過點(diǎn)，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為，即；

如圖，

∵，，

∴可求直線的解析式為．

∵點(diǎn)．

∴將代入中，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴把，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴，

又點(diǎn)到的距離為，到的距離為，

即

．

當(dāng)時，的最大值為．

由題意和知，，，，，

，，可求，

當(dāng)在上方時，如圖，過點(diǎn)作，

由四邊形是菱形，可知：，

此時，，，

∴，

，

解得：，

當(dāng)點(diǎn)在下方時，如圖，

由四邊形是菱形，可知：，

∴，，

在直角三角形中，，

∴，

解得或（舍去），

所以，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，或．