Question

【題目】如圖，將ABCD的邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC=2∠D，連接AC、BE，求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

【答案】證明：（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【解析】

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠ABF＝∠ECF．

∵EC＝DC，∴AB＝EC．

在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，

∴△ABF≌△ECF．

(2)證法一：由(1)知AB＝EC，又AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AF＝EF，BF＝CF．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D，又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC．

∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB．

∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC．∴□ABEC是矩形．

證法二：由(1)知AB＝EC，又AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE．

又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠BCE．

∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC．∴∠D＝∠FEC．

∴AE＝AD．

又∵CE＝DC，∴AC⊥DE，即∠ACE＝90°．

∴□ABEC是矩形．