Question

如圖，已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△DEC，并連接AE、BC，求S_△EMN：S_△ADN．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,正方形的性質

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明△EFN∽△ADN，得到

S△EFN

S△ADN

=(

EF

AD

)2=

3

4

；證明△EMF與△ENF的面積相等，即可解決問題．

解答：解：如圖，過點E作EF⊥CD于點F；
設正方形ABCD的邊長為λ，
∵△DCE為等邊三角形，
∴DF=CF；∠EDF=60°，DE=DC=λ；
∴sin60°=

EF

DE

，EF=

3

2

λ；
∵AD⊥DC，EF⊥DC，
∴AD∥EF，△EFN∽△ADN，
∴

S△EFN

S△ADN

=(

EF

AD

)2=

3

4

；
在△ADE與△BCE中，

DE=CE ∠ADE=∠BCE AD=BC

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴EA=EB，∠EAB=∠EBA；
∵MN∥AB，
∴∠ENM=∠EAB，∠EMN=∠EBA，
∴∠EMN=∠ENM，而EF⊥MN，
∴NF=MF，△EMF與△ENF的面積相等，
∴S_△EMN：S_△ADN=3：2．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質、等邊三角形的性質、正方形的性質等幾何知識點的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形．