Question

有甲、乙、丙三個三角形，已知三個三角形的內(nèi)角度數(shù)如圖（1）、（2）、（3）所示，

（1）請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù)．
（2）利用第（1）小題的分割方法，求將一個等腰三角形分割成兩個等腰三角形，原等腰三角形的頂角度數(shù)？（直接寫出答案即可）

Answer 1

考點：作圖—復(fù)雜作圖,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）圖1中只要找到斜邊中點，然后連接直角頂點和斜邊中點，那么分成的兩個三角形就是等腰三角形；圖2，圖3要先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出另一角的度數(shù)，然后看看是否能分成等腰三角形．
（2）本題要利用三角形內(nèi)角和定理求解．由于本題中經(jīng)過等腰三角形頂點的直線沒有明確是經(jīng)過頂角的頂點還是底角的頂點，因此本題要分情況討論．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）設(shè)該等腰三角形的底角是x；
①當(dāng)過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，如圖①，則AC=BC，AD=CD=BD，
設(shè)∠A=x°，
則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°；
②如圖②，AC=BC=BD，AD=CD，
設(shè)∠B=x°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=x°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=2x°，
∴∠ACB=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，則頂角是108°．
③當(dāng)過底角的角平分線把它分成了兩個等腰三角形，如圖③，則有AC=BC，AB=AD=CD，
設(shè)∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
則頂角是36°．
④當(dāng)∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°時，也符合，如圖④
AD=BD，BC=DC，
∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
則x+3x+3x=180°，
x=

180°

7

綜上可知：頂角度數(shù)：90°；36°；108°；

180°

7

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及其判定．作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論找到角之間的關(guān)系，列方程求解．