Question

如圖所示，把矩形紙片OABC放入直角坐標系xOy中，使OA，OC分別落在x，y軸的正半軸上，連接AC，且AC=4

5

，

OC

OA

=

1

2

．
（1）求AC所在直線的解析式；
（2）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），求折疊后重疊部分的面積；
（3）求EF所在直線的函數(shù)解析式；
（4）若過一定點P的任意一條直線h總能夠把矩形OABC的面積平均分為兩部分，則頂點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設OC=x，則OA=2x，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得到AC=

5

x，則

5

x=4

5

，解得x=4，得到A（8，0），C（0，4），然后利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式；
（2）設CE=t，根據(jù)折疊的性質(zhì)得CE=AE=t，∠AEF=∠CEF，則OE=OA-AE=8-t，再根據(jù)勾股定理得到4²+（8-t）²=t²，解得t=5，即CE=5，接著利用BC∥OA得到∠CFE=∠AEF，則∠CFE=∠CEF，所以CF=CE=5，然后根據(jù)三角形面積公式計算S_△CEF；
（3）先確定E和F點的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定直線EF的解析式；
（4）根據(jù)重心的性質(zhì)得到經(jīng)過矩形OABC的對角線的交點的直線總能夠把矩形OABC的面積平均分為兩部分，然后根據(jù)線段中點坐標公式求解．

解答：解：（1）設OC=x，則OA=2x，
在Rt△OAC中，AC=

OC2+OA2

=

5

x，
∴

5

x=4

5

，解得x=4，
∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（8，0），C（0，4）代入得

8k+b=0 b=4

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
∴AC所在直線解析式為y=-

1

2

x+4；
（2）設CE=t，
∵紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），
∴CE=AE=t，∠AEF=∠CEF，
∴OE=OA-AE=8-t，
在Rt△OCE中，∵OC²+OE²=CE²，
∴4²+（8-t）²=t²，解得t=5，
即CE=5，
∵BC∥OA，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE=5，
∴S_△CEF=

1

2

•5•4=10，
即折疊后重疊部分的面積為10；
（3）∵OE=OA-AE=3，
∴E點坐標為（3，0），
∵CF=5，
∴F點坐標為（5，4），
設直線EF的解析式為y=mx+n，
把E（3，0）、F（5，4）代入得

3m+n=0 5m+n=4

，
解得

m=2 n=-6

，
∴直線EF的解析式為y=2x-6；
（4）經(jīng)過矩形OABC的重心的直線總能夠把矩形OABC的面積平均分為兩部分，而矩形OABC的重心為對角線的交點，即線段AC的中點，線段AC的中點坐標為（4，2）．
故答案為（4，2）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．