【題目】如圖1,E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點(diǎn),D是邊BC所在直線上一點(diǎn),且DC不重合,若EC=ED.則稱D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn),點(diǎn)E稱為反稱中心.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,
1)已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)A在第一象限內(nèi),反稱中心E在直線AO上,反稱點(diǎn)D在直線OC上.
①如圖2,若E為邊AO的中點(diǎn),在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D,并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo):___.
②若AE=2,求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D的坐標(biāo);
2)若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為Bn0),Cn+10),反稱中心E在直線AB上,反稱點(diǎn)D在直線BC上,且2≤AE3.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍:P_____(用含n的代數(shù)式表示).

【答案】1)①(-1,0)②D-20);(2n-3tn-2n+2tn+3

【解析】

1)①過(guò)點(diǎn)EEFOC,垂足為F,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=FC=OF=,即可求OD=1,即可求點(diǎn)D坐標(biāo);
②分點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上兩種情況討論,根據(jù)反稱點(diǎn)定義可求點(diǎn)D的坐標(biāo);
2)分點(diǎn)E在點(diǎn)EAB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上,根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì),可求CF=DF的值,即可求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍.

1)①如圖,過(guò)點(diǎn)EEFOC,垂足為F,

EC=ED,EFOC
DF=FC,
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),
AO=CO=2
∵點(diǎn)EAO的中點(diǎn),
OE=1,
∵∠AOC=60°,EFOC,
∴∠OEF=30°,
OE=2OF=1
OF=,
OC=2,
CF==DF,
DO=1
∴點(diǎn)D坐標(biāo)(-1,0
故答案為:(-10
②∵等邊三角形AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)為O0,0),C2,0),
OC=2
AO=OC=2
E是等邊三角形AOC的邊AO所在直線上一點(diǎn),且AE=2,
∴點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上,
如圖,若點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,

EC=ED,EC=2,
ED=2
D是邊OC所在直線上一點(diǎn),且DC不重合,
D點(diǎn)坐標(biāo)為(-20
如圖,若點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上,且AE=2,

AC=AE=2,
∴∠E=ACE
∵△AOC為等邊三角形,
∴∠OAC=ACO=60°
∴∠E=ACE=30°
∴∠OCE=90°
EC=ED,
∴點(diǎn)D與點(diǎn)C重合.
這與題目條件中的DC不重合矛盾,故這種情況不合題意,舍去,
綜上所述:D-2,0
2)∵Bn,0),Cn+1,0),
BC=1,
AB=AC=1
2≤AE3,
∴點(diǎn)EAB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上,
如圖點(diǎn)EAB的延長(zhǎng)線上,過(guò)點(diǎn)AAHBC,過(guò)點(diǎn)EEFBD

AB=ACAHBC,
BH=CH=,
AHBC,EFBD
AHEF
,
AE=2AB=1
BE=1,
=1
BH=BF=
CF==DF
D的橫坐標(biāo)為:n--=n-2,
AE=3AB=1
BE=2,
=
BF=2BH=1
CF=DF=2
D的橫坐標(biāo)為:n-1-2=n-3,
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍:n-3t≤n-2,
如圖點(diǎn)EBA的延長(zhǎng)線上,過(guò)點(diǎn)AAHBC,過(guò)點(diǎn)EEFBD,

同理可求:點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍:n+2≤tn+3,
綜上所述:點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍:n-3t≤n-2n+2≤tn+3
故答案為:n-3t≤n-2n+2≤tn+3

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