Question

【題目】如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點(diǎn)，D是邊BC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，若EC=ED．則稱D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)，點(diǎn)E稱為反稱中心．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，
（1）已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，反稱中心E在直線AO上，反稱點(diǎn)D在直線OC上．
①如圖2，若E為邊AO的中點(diǎn)，在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)：___.
②若AE=2，求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為B（n，0），C（n+1，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點(diǎn)D在直線BC上，且2≤AE＜3．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍:P_____(用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．

【解析】

（1）①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OC，垂足為F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=FC=，OF=，即可求OD=1，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)；
②分點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，根據(jù)反稱點(diǎn)定義可求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）分點(diǎn)E在點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，可求CF=DF的值，即可求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍．

（1）①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OC，垂足為F，

∵EC=ED，EF⊥OC
∴DF=FC，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
∴AO=CO=2，
∵點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，
∴OE=1，
∵∠AOC=60°，EF⊥OC，
∴∠OEF=30°，
∴OE=2OF=1
∴OF=，
∵OC=2，
∴CF==DF，
∴DO=1
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，0）
故答案為：（-1，0）
②∵等邊三角形AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)為O（0，0），C（2，0），
∴OC=2．
∴AO=OC=2．
∵E是等邊三角形AOC的邊AO所在直線上一點(diǎn)，且AE=2，
∴點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合或點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上，
如圖，若點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，

∵EC=ED，EC=2，
∴ED=2．
∵D是邊OC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）
如圖，若點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線上，且AE=2，

∵AC=AE=2，
∴∠E=∠ACE．
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠OAC=∠ACO=60°．
∴∠E=∠ACE=30°．
∴∠OCE=90°．
∵EC=ED，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)C重合．
這與題目條件中的D與C不重合矛盾，故這種情況不合題意，舍去，
綜上所述：D（-2，0）
（2）∵B（n，0），C（n+1，0），
∴BC=1，
∴AB=AC=1
∵2≤AE＜3，
∴點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或在BA的延長(zhǎng)線上，
如圖點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD

∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=，
∵AH⊥BC，EF⊥BD
∴AH∥EF
,
若AE=2，AB=1
∴BE=1，
∴=1
∴BH=BF=
∴CF==DF
∴D的橫坐標(biāo)為：n--=n-2，
若AE=3，AB=1
∴BE=2，
∴=
∴BF=2BH=1
∴CF=DF=2
∴D的橫坐標(biāo)為：n-1-2=n-3，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n-3＜t≤n-2，
如圖點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，

同理可求：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n+2≤t＜n+3，
綜上所述：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．
故答案為：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．