【題目】如圖,等邊三角形的邊長為,點為上的一點,點為上的一點,連結(jié)、,.
求證:①;②;
若,求和的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)CD=.
【解析】
(1)①由△ABC為等邊三角形,易得∠B=∠C=60°,又∠APD=60°,由外角性質(zhì)可得∠DPC=∠PAB,利用相似三角形的判定定理(AA)可得△ABP∽△PCD;
②由∠PAC=∠DAP,∠C=∠APD=60°,由相似三角形的判定定理(AA定理)可得△ADP∽△APC,利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)由AB=BC=3,PC=2,得到BP=1,由△ABP∽△PCD,利用相似三角形的性質(zhì)可得,易得CD,可得AD,再利用AP2=ADAC,可得AP.
(1)①在等邊三角形△ACB中,∠B=∠C=60°.
∵∠APD=60°,∠APC=∠PAB+∠B,∴∠DPC=∠PAB,∴△ABP∽△PCD;
②∵∠PAC=∠DAP,∠C=∠APD=60°,∴△ADP∽△APC,∴,∴AP2=ADAC;
(2)∵AB=BC=3,PC=2,∴BP=1.
∵△ABP∽△PCD,∴,∴CD==,∴AD=3﹣=.
∵AC=3,AD=,AP2=ADAC,∴AP=.
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【題目】若二次函數(shù)y=x2+與y=-x2+k的圖象的頂點重合,則下列結(jié)論不正確的是( )
A. 這兩個函數(shù)圖象有相同的對稱軸 B. 這兩個函數(shù)圖象的開口方向相反
C. 方程-x2+k=0沒有實數(shù)根 D. 二次函數(shù)y=-x2+k的最大值為
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【題目】如圖,的頂點坐標(biāo)分別為,,,把沿直線翻折,點的對應(yīng)點為,拋物線經(jīng)過點,頂點在直線上.
證明四邊形是菱形,并求點的坐標(biāo);
求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達(dá)式;
在拋物線上是否存在點,使得與的面積相等?若存在,直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】把大小和形狀完全相同的張卡片分成兩組,每組張,分別標(biāo)上、、,將這兩組卡片分別放入兩個盒子中攪勻,再從中隨機(jī)抽取一張.
請用畫樹狀圖的方法求取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的概率;
若取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù),則甲勝;取出的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù),則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線.
當(dāng)拋物線的頂點在軸上時,求該拋物線的解析式;
不論取何值時,拋物線的頂點始終在一條直線上,求該直線的解析式;
若有兩點,且該拋物線與線段始終有交點,請直接寫出的取值范圍.
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【題目】反比例函數(shù)y=(a>0,a為常數(shù))和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點M在y=的圖象上,MC⊥x軸于點C,交y=圖象于點A;MD⊥y軸于點D,交y=的圖象于點B,當(dāng)點M在y=的圖象上運動時,以下結(jié)論:①S△ODB=S△OCA;②四邊形OAMB的面積不變;③當(dāng)點A是MC的中點時,則點B是MD的中點.其中正確結(jié)論的序號是___________;
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.
(1)用直尺和圓規(guī)作∠A的平分線,交BC于點D;(要求:不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)求S△ADC: S△ADB的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)在圖中的點上標(biāo)出相應(yīng)字母A、B、C,并求出△ABC的面積;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1;
(3)寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo).
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【題目】已知,點P是射線ON上一動點,點B是射線OA上一動點,點B,P均不與點O重合,當(dāng)_____時,為直角三角形;如果使得為鈍角三角形,則的取值范圍是_____.
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