Question

提出問題：在△ABC中，已知AB=

5

，BC=

10

，AC=

13

，求這個三角形的面積．小明同學在解答這個題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出這個格點三角形（即三角形三個頂點都在小正方形的頂點處）如圖①所示，這樣就不用求三角形的高，而借用網(wǎng)格就能計算出三角形的面積了．
（1）請你將△ABC的面積直接寫出來：

 

．
問題延伸：
（2）我們把上述求三角形面積的方法叫構(gòu)圖法．若△ABC三邊長分別為2

2

a，

13

a，

17

a（a＞0），
請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形邊長是a）畫出相應的△ABC，并寫出它的面積

 

．
探索創(chuàng)新：
（3）若△ABC三邊長分別為2

m2+n2

，

9m2+4n2

，

m2+16n2

（m＞0，n＞0，且m≠n）試用構(gòu)圖法求這個三角形面積．

Answer 1

考點：勾股定理,三角形的面積

專題：網(wǎng)格型

分析：（1）△ABC的面積=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）2

2

a是直角邊長為2a，2a的直角三角形的斜邊；

13

a是直角邊長為3a，2a的直角三角形的斜邊；

17

a是直角邊長為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積；
（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是的直角邊長為2m，2n直角三角形的斜邊；直角邊長為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為m，4n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積．

解答：解：（1）

7

2

；

（2）如圖：

S_△ABC=3a×4a-

1

2

×2a×2a-

1

2

×2a×3a-

1

2

a×4a=5a²；

（3）解：構(gòu)造△ABC所示，

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×2m×2n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×m×4n=5mn．

點評：本題是開放性的探索問題，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答．