【題目】數(shù)學(xué)課堂探究性活動(dòng)蔚然成風(fēng)。張老師在課堂上設(shè)置一道習(xí)題:
(1)已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置(如圖1所示)時(shí),探究PA2、PB2、PC2、PD2,之間的關(guān)系?直接寫(xiě)出結(jié)論,不必證明;
當(dāng)P點(diǎn)在其它位置時(shí),請(qǐng)同學(xué)們分組探究:
(2)當(dāng)點(diǎn)P在矩形內(nèi)部,如圖2時(shí),探究PA2、PB2、PC2、PD2之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)你把探究出的結(jié)論寫(xiě)出來(lái),并給予證明。
(3)當(dāng)點(diǎn)P在矩形外部,如圖3時(shí),繼續(xù)探完P(guān)A2、PB2、PC2、PD2之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)你把探究出的結(jié)論直接寫(xiě)出來(lái),不必證明。
【答案】(1)(2)(3)結(jié)論P(yáng)A2+PC2=PB2+PD2,證明見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)直接根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,可在Rt△AMP,Rt△BNP,Rt△DMP和Rt△CNP分別用勾股定理表示出PA2,PC2,PB2,PD2,然后我們可得出PA2+PC2與PB2+PD2,我們不難得出四邊形MNCD是矩形,于是,MD=NC,AM=BN,然后我們將等式右邊的值進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)PA2+PC2=PB2+PD2.如圖(3)方法同(2),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC交AD,BC于O,易證.
試題解析:證明:(1)如圖1中.在Rt△ABP中,AB2=AP2﹣BP2,Rt△PDC中,CD2=PD2﹣PC2.∵AB=CD,∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2,∴PA2+PC2=PB2+PD2;
(2)猜想:PA2+PC2=PB2+PD2.
如圖2,過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N.
在矩形ABCD中,∵AD∥BC,MN⊥AD,∴MN⊥BC.在Rt△AMP中, PA2=PM2+MA2.在Rt△BNP中,PB2=PN2+BN2.在Rt△DMP中,PD2=DM2+PM2.在Rt△CNP中,PC2=PN2+NC2,∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2,PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2.∵MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC,∴四邊形MNCD是矩形,∴MD=NC,同理AM=BN,∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2,即PA2+PC2=PB2+PD2.
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q.
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,PQ⊥BC,∴PQ⊥AD.∵在Rt△AOP中,PA2=AO2+PO2.在Rt△PQB中,PB2=PQ2+QB2.在Rt△POD中,PD2=DO2+PO2.在Rt△CQP中,PC2=PQ2+QC2,∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2,PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2.∵PQ⊥AD,PQ⊥NC,DC⊥BC,∴四邊形OQCD是矩形,∴OD=QC,同理AO=BQ,∴PA2+PC2=PB2+PD2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面的材料:
符號(hào)、p分別表示一種運(yùn)算,它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下:
(0)=-1, (1)=0 , (2)=1 , (-3)=-4, (-4)=-5,……
p(-1)=-2,p()=1,p()=, p(2)=4, p(-3)=-6,……
根據(jù)以上運(yùn)算規(guī)律,完成下列問(wèn)題:
(1)計(jì)算:(-5)×p()+2
(2)已知x為有理數(shù),且(x)+ p()=2×(-4),求x的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料,回答下列問(wèn)題:
數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具,任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示,這樣能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些問(wèn)題。例如,兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離可以用這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值表示;
在數(shù)軸上,有理數(shù)3與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|31|=2;
在數(shù)軸上,有理數(shù)5與2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|5(2)|=7;
在數(shù)軸上,有理數(shù)2與3對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|23|=5;
在數(shù)軸上,有理數(shù)8與5對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|8(5)|=3;……
如圖1,在數(shù)軸上有理數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)A,有理數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)B,A,B兩點(diǎn)之間的距離表示為|ab|或|ba|,記為|AB|=|ab|=|ba|.
(1)數(shù)軸上有理數(shù)10與5對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離等于___;數(shù)軸上有理數(shù)x與5對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離用含x的式子表示為___;若數(shù)軸上有理數(shù)x與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)A,B之間的距離|AB|=2,則x等于___;
(2)如圖2,點(diǎn)M,N,P是數(shù)軸上的三點(diǎn),點(diǎn)M表示的數(shù)為4,點(diǎn)N表示的數(shù)為2,動(dòng)點(diǎn)P表示的數(shù)為x.
①若點(diǎn)P在點(diǎn)M,N之間,則|x+2|+|x4|=___;若|x+2|+|x4|═10,則x=___;
②根據(jù)閱讀材料及上述各題的解答方法,|x+2|+|x|+|x2|+|x4|的最小值等于___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】出租車(chē)司機(jī)小王某天下午營(yíng)運(yùn)是在東西走向的大街上進(jìn)行的,如果規(guī)定向東為正,向西為負(fù),他這天下午行車(chē)?yán)锍?單位:千米)如下:
+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6.
(1)將最后一名乘客送到目的地時(shí),小王距下午出車(chē)時(shí)的出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)?
(2)若汽車(chē)耗油量為0.05升/千米,這天下午小王的汽車(chē)共耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知B,C,E三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上,△ABC與△DCE都是等邊三角形,其中線(xiàn)段BD交AC于點(diǎn)G,線(xiàn)段AE交CD于點(diǎn)F.求證:(1)△ACE≌△BCD;(2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-4),B(5,-4),C(4,-1).
(1)在方格紙中畫(huà)出△ABC;
(2)求出△ABC的面積;
(3)若把△ABC向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A′B′C′,在圖中畫(huà)出△A′B′C′,并寫(xiě)出B′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)A(0,6),點(diǎn)B(8,0).動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始在線(xiàn)段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線(xiàn)段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P,Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求直線(xiàn)AB的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△AOB相似,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年夏季山洪暴發(fā),易發(fā)生滑坡,經(jīng)過(guò)地質(zhì)人員勘測(cè),當(dāng)坡角不超過(guò)時(shí),可以確保山體不滑坡.某中學(xué)緊挨一座山體斜坡,如圖所示,已知,斜坡長(zhǎng)30米,坡角,為保證改造后的山體不滑坡,求至少是多少米?(精確到0.1米, )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,某超市從底樓到二樓有一自動(dòng)扶梯,圖2是側(cè)面示意圖.已知自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)度是12.5米,MN是二樓樓頂,MN∥PQ,C是MN上處在自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)正上方的一點(diǎn),BC⊥MN,在自動(dòng)扶梯底端A處測(cè)得C點(diǎn)的仰角∠CAQ為45°,坡角∠BAQ為37°,求二樓的層高BC(精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75 )
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