Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）試探究線段CD、DE、EO之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，BD，求出∠ADB=∠BDC=90°，推出DE=BE=CE，推出∠EDB=∠EBD，∠OBD=∠ODB，推出∠EDO=∠EBO=90°即可；
（2）BD=

5

x，CD=2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出（

5

x）²+（2x）²=16，求出x，求出BD，根據(jù)tan∠ABD=tanC求出AD=

5

2

BD，代入求出即可；
（3）根據(jù)tanC=

5

2

=

BD

DC

，設(shè)BD=

5

x，CD=2x，DE=2，在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理得出BD的長，再根據(jù)兩角互補的性質(zhì)得出∠ABD=∠C，故可得出tan∠ABD=tanC，即tan∠ABD=

AD

BD

=

5

2

，由此即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：連接OD，BD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°．
∵E是BC的中點，
∴DE=BE=CE．
∴∠EBD=∠EDB．
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∴∠EDO=∠EBO=90°．
∴DE與⊙O相切．

（2）由題意，可得OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE．
∵∠ABC=∠BDC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即BC²=CD•AC．         
∵BC=2EB=2DE，AC=2EO，
∴4DE²=CD•2EO．
即2DE²=CD•EO．

（3）∵tanC=

BD

CD

=

5

2

，可設(shè)BD=

5

x，CD=2x，
∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD²+CD²=BC²．
∴（

5

x）²+（2x）²=16．
解得：x=±

4

3

（負值舍去）．  
∴BD=

5

x=

4

3

5

． 
∵∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tanC．
∴AD=

5

2

BD=

5

2

×

4

3

5

=

10

3

．
答：AD的長是

10

3

．

點評：本題綜合考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，切線的判定等知識點，主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，注意：①證切線的方法，②方程思想的運用．