Question

如圖，在Rt△ABC中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是線段AB上一動點，PE⊥AO于點E，PF⊥BO于點F，設PE=x，矩形PFOE的面積為s．
（1）求出s與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）當s=12時，求矩形PFOE的兩鄰邊長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,一元二次方程的應用,根據實際問題列二次函數關系式

專題：

分析：（1）根據矩形的對邊相等可得OF=PE=x，然后利用∠B的正切值求出PF，再根據矩形的面積公式列式整理即可得解；
（2）把二次函數解析式整理成頂點式形式，然后根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，
∵AO=8，BO=6，
∴tanB=

AO

BO

=

PF

BF

即：

8

6

=

PF

6-x

，
解得PF=

4

3

(6-x)，
∴矩形PFOE的面積為S=PE•PF=x•

4

3

(6-x)=-

4

3

x2+8x
即S=-

4

3

x2+8x
（2）∵S=-

4

3

x2+8x=-

4

3

(x-3)2+12
∴當x=3時，矩形PFOE的面積S最大，最大面積是12．

點評：本題主要考查了二次函數的最值問題，矩形的性質與銳角的正切的利用，（2）把二次函數的解析式轉互為頂點式形式是解題的關鍵．