【題目】問題背景:如圖,四邊形中,,,,,,為邊上一動點(diǎn),連接、.
問題探究
(1)如圖1,若,則的長為__________.
(2)如圖2,請求出周長的最小值;
(3)如圖3,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)分別作于,于點(diǎn),連接
①是否存在點(diǎn),使得的面積最大?若存在,求出面積的最大值,若不存在,請說明理由;
②請直接寫出面積的最小值.
【答案】(1);(2)18;(3)①;②
【解析】
(1)過點(diǎn)B作BF⊥AD,交DA的延長線于點(diǎn)F,利用等腰直角三角形ABF求得AF和BF的長,再利用Rt△PBF求得PF的長,進(jìn)而得解;
(2)作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B',連接B'C,交AD于點(diǎn)P',連接BP',根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)B',P,C三點(diǎn)共線時,周長取得最小值,再利用勾股定理計算即可;
(3)①②根據(jù),可得點(diǎn)E、M、P、N在以PE為直徑的圓上,利用圓周角定理和直角三角形兩銳角互余可證得△MPN∽△CPB,進(jìn)而可知當(dāng)MN最大時,面積的最大,當(dāng)MN最小時,面積的最小,由圓的性質(zhì)可知當(dāng)MN為直徑時MN最大,當(dāng)MN⊥PE時,MN最小,最后利用勾股定理、等積法和相似三角形的性質(zhì)求解即可.
解:(1)如圖,過點(diǎn)B作BF⊥AD,交DA的延長線于點(diǎn)F,
∵AD∥BC,∠ABC=45°,
∴∠FAB=∠ABC=45°,
∵BF⊥AD,
∴在Rt△ABF中,AF2+BF2=AB2,
∵
∴AF=BF=AB=,
∵AD∥BC,∠PBC=30°,
∴∠FPB=∠PBC=30°,
∵在Rt△PBF中,tan∠FPB=
∴tan30°=,
∴
∴;
(2)如圖,作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B',連接B'C,交AD于點(diǎn)P',連接BP',
∵點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于直線AD對稱,
∴AD垂直平分BB',BF=B'F=3,
∴P'B=P'B',BB'=6,
∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P'時,PB+PC取得最小值,最小值為B'C的長,此時△BPC的周長最小,
在Rt△BB'C中,B'C=,
∴△BPC的周長最小值為B'C+BC=10+8=18;
(3)①∵,,
∴∠EMP=∠ENP=90°,
∴點(diǎn)E、M、P、N在以PE為直徑的圓上,如圖所示,
則∠PMN=∠PEN,
∵,,
∴∠PEC=∠ENC=90°,
∴∠PEN+∠NEC =∠NEC+∠PCB=90°,
∴∠PEN =∠PCB,
∴∠PMN=∠PCB,
又∵∠MPN=∠CPB,
∴△MPN∽△CPB,
∴
∵,
∴PE=3,
∴
∴
∴當(dāng)MN取得最大值時,的面積取得最大值,
當(dāng)MN=PE=3時,解得
即當(dāng)MN=PE=3時,的面積最大,最大值為;
②由①可知,,
∴當(dāng)MN取得最小值時,的面積取得最小值,
由垂徑定理可知,當(dāng)MN⊥PE時,MN取得最小值,
如圖,當(dāng)MN⊥PE時,則弧ME=弧NE
∴∠MPE=∠NPE,
∵,
∴∠PEB=∠PEC=90°,
∴△PEB≌△PEC,
∴EB=EC=BC=4,
在Rt△BEP中,BP=,
∵
∴
∴,
在Rt△PME中,PM=
∵
∴
∴,
∴,
∴,
解得,
∴面積的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校組織八年級學(xué)生參加了“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分.為了更好地了解大賽的成績分布情況,隨機(jī)抽取了其中若干名學(xué)生的成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,繪制如下不完整的條形統(tǒng)計圖.
漢字聽寫大賽成績分?jǐn)?shù)段統(tǒng)計表
分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) |
2 | |
6 | |
9 | |
18 | |
15 |
漢字聽寫大賽成績分?jǐn)?shù)段條形統(tǒng)計圖
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(2)這次抽取的學(xué)生成績的中位數(shù)在________的分?jǐn)?shù)段中;這次抽取的學(xué)生成績在的分?jǐn)?shù)段的人數(shù)占抽取人數(shù)的百分比是_______.
(3)若該校八年級一共有學(xué)生350名,成績在90分以上(含90分)為“優(yōu)”,則八年級參加這次比賽的學(xué)生中成績“優(yōu)”等的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩地相距300,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)到乙地停止,貨車先出發(fā)從甲地勻速開往乙地,貨車開出一段時間后,轎車出發(fā),勻速行駛一段時間后接到通知提速后勻速趕往乙地(提速時間不計),最后發(fā)現(xiàn)轎車比貨車提前0.5小時到達(dá),下圖表示兩車之間的距離與貨車行駛的時間之間的關(guān)系,則貨車行駛__________小時.兩車在途中相遇.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=8.動點(diǎn)E,F同時分別從點(diǎn)A,B出發(fā),分別沿著射線AD和射線BD的方向均以每秒1個單位的速度運(yùn)動,連接EF,以EF為直徑作⊙O交射線BD于點(diǎn)M,設(shè)運(yùn)動的時間為t.
(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時,用關(guān)于t的代數(shù)式表示DE,DM.
(2)在整個運(yùn)動過程中,
①連結(jié)CM,當(dāng)t為何值時,△CDM為等腰三角形.
②圓心O處在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)時,求t的取值范圍,并直接寫出在此范圍內(nèi)圓心運(yùn)動的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明準(zhǔn)備利用所學(xué)的知識測量旗桿的高度.他設(shè)計了如下的測量方案:選取一個合適觀測點(diǎn),在地面處垂直地面豎立高度為2米的標(biāo)桿,小明調(diào)整自己的位置到處,使得視線與、在同一直線上,此時測得米,然后小明沿著方向前進(jìn)11米到處,利用隨身攜帶的等腰直角三角形測得點(diǎn)的仰角為45°,已知小明眼睛到地面距離為1.5米(米),請你根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)計算旗桿的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)將△ABC向下平移5個單位再向右平移1個單位后得到對應(yīng)的△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
(2)畫出△A1B1C1關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2;
(3)P(a,b)是△ABC的邊AC上一點(diǎn),請直接寫出經(jīng)過兩次變換后在△A2B2C2中對應(yīng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形紙片中,,,折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處,折痕為,過點(diǎn)作交于,連接.
圖1 圖2
(1)求證:四邊形為菱形;
(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上移動時,折痕的端點(diǎn),也隨之移動;
①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(如圖2),求菱形的邊長;
②若限定,分別在邊,上移動,則點(diǎn)在邊上移動的最大距離是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與x軸分別交于,兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)F是線段AD上一個動點(diǎn).
①如圖1,設(shè),當(dāng)k為何值時,.
②如圖2,以A,F,O為頂點(diǎn)的三角形是否與相似?若相似,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不相似,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解,并解決問題:
“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要思想,貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程,比如整體代入,整體換元,整體約減,整體求和,整體構(gòu)造,…,有些問題若從局部求解,采取各個擊破的方式,很難解決,而從全局著眼,整體思考,會使問題化繁為簡,化難為易,復(fù)雜問題也能迎刃而解.
例:當(dāng)代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.
解:因?yàn)?/span>,所以.
所以.
以上方法是典型的整體代入法.
請根據(jù)閱讀材料,解決下列問題:
(1)已知,求的值.
(2)我們知道方程的解是,現(xiàn)給出另一個方程,則它的解是 .
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