Question

如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)．證明下列結(jié)論：
（1）AG=

1

2

AD；
（2）DF=EF；
（3）S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG=

1

2

AD；

（2）過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，

∠FDH=∠E ∠DFH=∠EFC DH=CE

，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF=EF；

（3）∵△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S_△ADG=S_△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S_△DHF=S_△ECF，
∴S_△DGF=S_△DGH+S_△DHF=S_△ADG+S_△ECF．