Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=b，AD=a，過D和B作DE⊥AC，BF⊥AC，且AE=EF，試求a與b之間的關(guān)系．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定推出△ADE≌△CBF，推出AE=EF=CF，證△ABF∽△BCF，得出比例式

AB

BC

=

BF

CF

=

AF

BF

，設(shè)AE=EF=CF=c，求出BF的值，代入即可求出答案．

解答：解：a與b的關(guān)系是b=

2

a，
理由是：
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中

∠DAE=∠BCF ∠AED=∠CFB AD=BC

，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∵AE=EF，
∴AE=EF=CF，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°=∠BFC，
∴∠BCF+∠CBF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF=∠BCF，
∵∠AFB=∠CFB=90°，
∴△ABF∽△BCF，
∴

AB

BC

=

BF

CF

=

AF

BF

，
設(shè)AE=EF=CF=c，
則BF²=AF•CF=2c²，
∴BF=

2

c，
∵AB=b，BC=a，
∴

b

a

=

2 c

c

=

2

，
∴b=

2

a，
即a與b之間的關(guān)系是b=

2

a．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AE=EF=CF和得出a、b和CF的關(guān)系式，此題綜合性比較強，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生運用所學(xué)的定理進行推理的能力同時也培養(yǎng)了學(xué)生的計算能力．