Question

用50米長木條，做如圖等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°設AB為x米，等腰梯形ABCD面積為y平方米．當x為多少時，才能使y最大？最大面積y是多少？
（參考公式：二次函數y=ax²+bx+c，當x=-

b

2a

時，y最大（�。┲�=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考點：等腰梯形的性質,二次函數的最值,二次函數的應用,等邊三角形的判定與性質,含30度角的直角三角形,勾股定理,平行四邊形的判定與性質

專題：計算題

分析：過A作AF∥CD交BC于F，AE⊥BC于E，得出平行四邊形ADCF和等邊三角形ABF，推出∠BAE=30°，求出BE、AE，推出AB=BF=CD=x，求出AD和BC的值（用x的代數式表示），根據梯形的面積公式求出即可得出y和x的關系式，根據二次函數的最值，求出頂點坐標即可求出答案．

解答：解：
過A作AF∥CD交BC于F，AE⊥BC于E，
∵AD∥BC，AF∥CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AD=CF，∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴AB=AF，
∴三角形ABF是等邊三角形，
∴AB=BF=AF=x，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

x，
由勾股定理得：AE=

3

2

x，
∵AD+DC+BC+AB=50，
∴x+x+x+2AD=50，
∴AD=

50-3x

2

，
BC=

50-3x

2

+x=

50-x

2

，
梯形ABCD的面積y=

1

2

（AD+BC）×AE=

1

2

×（

50-3x

2

+

50-x

2

）×

3

2

x，
即y=-

3

2

x²+

25 3

2

x，
∵a=-

3

2

＜0，
∴y有最大值，
當x=-

25 3 2

2×(- 3 2 )

=

25

2

時，y的最大值是：y=

4×(- 3 2 )×0-( 25 3 2 )2

4×(- 3 2 )

=

625 3

8

，
答：當x為

25

2

時，才能使y最大，最大面積y是

625 3

8

．

點評：本題綜合考查了二次函數的最值，勾股定理，平行四邊形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰梯形的性質，含30度角的直角三角形等知識點，能用x的代數式表示出AD、BC、AE的長是解此題的關鍵，題目綜合性比較強，有一定的難度．