Question

如圖，在反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）的圖象上，有點(diǎn)P₁，P₂，P₃，P₄…P_n（n為正整數(shù)，且n≥1），它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4…n（n為正整數(shù)，且n≥1）．分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，連接相鄰兩點(diǎn)，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S₁，S₂，S₃…S_n-1（n為正整數(shù)，且n≥2），那么S₁+S₂+S₃=

 

，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n-1=

 

．（用含有n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專題：規(guī)律型

分析：求出P₁、P₂、P₃、P₄…的縱坐標(biāo)，從而可計(jì)算出S₁、S₂、S₃、S₄…的高，進(jìn)而求出S₁、S₂、S₃、S₄…，從而得出S₁+S₂+S₃及S₁+S₂+S₃+…+S_n-1的值．

解答：解：當(dāng)x=1時(shí)，P₁的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)x=2時(shí)，P₂的縱坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=3時(shí)，P₃的縱坐標(biāo)為

4

3

，
當(dāng)x=4時(shí)，P₄的縱坐標(biāo)為1，
當(dāng)x=5時(shí)，P₅的縱坐標(biāo)為

4

5

，
…
則S₁=

1

2

×1×（4-2）=1=2-1；
S₂=

1

2

×1×（2-

4

3

）=

1

3

=1-

2

3

；
S₃=

1

2

×1×（

4

3

-1）=

1

6

=

2

3

-

2

4

；
∴S₁+S₂+S₃=2-1+1-

2

3

+

2

3

-

2

4

=2-

2

4

=

3

2

；
S₄=

1

2

×1×（1-

4

5

）=

1

10

=

2

4

-

2

5

；
…
S_n-1=

2

n-1

-

2

n

；
∴S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n-1
=2-1+1-

2

3

+

2

3

-

2

4

+…+

2

n-1

-

2

n

=2-

2

n

．
故答案為

3

2

；2-

2

n

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)坐標(biāo)求出個(gè)陰影的面積表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．