【題目】在四邊形中,對角線、相交于點,將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,旋轉(zhuǎn)角為θθ90°),連接,交于點

1)如圖1,若四邊形是正方形.

①求證:

②請直接寫出的位置關(guān)系.

2)如圖2,若四邊形是菱形,,,設(shè).判斷的位置關(guān)系,說明理由,并求出的值.

3)如圖3,若四邊形是平行四邊形,,,連接,設(shè).請直接寫出的值和的值.

【答案】(1)①證明見解析;②AC1BD1;(2k=,AC1BD1,理由見解析;(3k=AC12+(kDD1)2=25

【解析】

1)①根據(jù)正方形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),通過SAS證明兩三角形全等;

②由全等三角形的性質(zhì)得出,通過證明進(jìn)行求解;

2)根據(jù)菱形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=BOD1,進(jìn)而可證明△AOC1∽△BOD1,利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解;

3)同(2)的解法相似可求出k的值,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OD1=OB=OD,進(jìn)而可得出,利用勾股定理進(jìn)行求解.

1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,

OC=OA=OD=OB,ACBD,

∴∠AOB=COD=90°,

COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,

OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=DOD1,

OC1=OD1,∠AOC1=BOD1

在△AOC1和△BOD1中,

,

∴△AOC1≌△BOD1SAS);

②解:AC1BD1,理由如下:

∵△AOC1≌△BOD1,

,

,

,即

AC1BD1;

2)解:AC1BD1,理由如下:

∵四邊形ABCD是菱形,

OC=OA=ACOD=OB=BD,ACBD,

∴∠AOB=COD=90°,

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,

OC1=OCOD1=OD,∠COC1=DOD1,

OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=BOD1,

,

∴△AOC1∽△BOD1,

∴∠OAC1=OBD1

又∵∠AOB=90°,

∴∠OAB+ABP+∠OBD1=90°,

∴∠OAB+ABP+OAC1=90°,

∴∠APB=90°,

AC1BD1,

∵△AOC1∽△BOD1,

=

k=;

3)解:與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1

,

k=;

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1OD1,

OD1=OD,而OD=OB,

OD1=OB=OD,

∴△BDD1為直角三角形,即,

RtBDD1中,BD12+DD12=BD2=100,

∴(2AC1)2+DD12=100,

AC12+(kDD1)2=25

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①求的值;

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