【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx﹣3與直線y=x+3交于點A(m,0)和點B(2,n),與y軸交于點C.
(1)求m,n的值及拋物線的解析式;
(2)在圖1中,把△AOC平移,始終保持點A的對應(yīng)點P在拋物線上,點C,O的對應(yīng)點分別為M,N,連接OP,若點M恰好在直線y=x+3上,求線段OP的長度;
(3)如圖2,在拋物線上是否存在點Q(不與點C重合),使△QAB和△ABC的面積相等?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+2x﹣3,m=﹣3,n=5;(2)3或;(3)存在;Q點坐標(biāo)為(﹣1,﹣4)或(3,12)或(﹣4,5),理由見解析
【解析】
(1)把點A(m,0)和點B(2,n)代入直線y=x+3,解得:m=﹣3,n=5,A(﹣3,0)、B(2,5),把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求解;
(2)由平移得:PN=OA=3,NM=OC=3,設(shè):平移后點P(t,t2+2t﹣3),則N(t+3,t2+2t﹣3),M(t+3,t2+2t﹣6),根據(jù)點M在直線y=x+3上,即可求解;
(3)存在.設(shè):直線AB交y軸于D(0,3),點C關(guān)于點D的對稱點為C′(0,9)按照△QAB和△Q′AB和△ABC的面積相同即可求解.
解:(1)把點A(m,0)和點B(2,n)代入直線y=x+3,解得:m=﹣3,n=5,
∴A(﹣3,0)、B(2,5),把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式,解得:a=1,b=2,
∴拋物線解析式為:y=x2+2x﹣3…①,
則C(0,﹣3);
(2)由平移得:PN=OA=3,NM=OC=3,
設(shè):平移后點P(t,t2+2t﹣3),則N(t+3,t2+2t﹣3),
∴M(t+3,t2+2t﹣6),∵點M在直線y=x+3上,
∴t2+2t﹣6=t+3+3,解得:t=3或﹣4,
∴P點坐標(biāo)為(3,12)或(﹣4,5),
則線段OP的長度為:3或;
(3)存在.
設(shè):直線AB交y軸于D(0,3),點C關(guān)于點D的對稱點為C′(0,9)
過點C和C′分別做AB的平行線,交拋物線于點Q、Q′,
則:△QAB和△Q′AB和△ABC的面積相同,
直線QC和Q′C的方程分別為:y=x﹣3和y=x+9…②,
將①、②聯(lián)立,解得:x=﹣1或x=3或x=﹣4,
∴Q點坐標(biāo)為(﹣1,﹣4)或(3,12)或(﹣4,5).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是關(guān)于的函數(shù),若其函數(shù)圖象經(jīng)過點,則稱點為函數(shù)圖象上的“郡點”,例如:上存在“郡點”.
(1)直線___________(填寫直線解析式)上的每一個點都是“郡點”,雙曲線上的“郡點”是___________;
(2)若拋物線上有“郡點”,且“郡點”、(點和點可以重合)的坐標(biāo)為、,求的最小值.
(3)若函數(shù)的圖象上存在唯一的一個“郡點”,且當(dāng),的最小值,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB切⊙O與點A,BE切⊙O于點E,連接AO并延長交⊙O于點C,交BE的延長線于點D,連接EC,若AD=8,tan∠DEC=,則CD=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點D在AB的延長線上,C、E是⊙O上的兩點,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延長AE交BC的延長線于點F.
求證:(1)CD是⊙O的切線;
(2)CE=CF;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C為AB上方的圓上一動點,過點C作⊙O的切線l,過點A作直線l的垂線AD,交⊙O于點D,連接OC,CD,BC,BD,且BD與OC交于點 E.
(1)求證:△CDE≌△CBE;
(2)若AB=6,填空:
①當(dāng)的長度是 時,△OBE是等腰三角形;
②當(dāng)BC= 時,四邊形OADC為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(2,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求該拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);
(2)直線y=﹣x﹣2與該拋物線在第四象限內(nèi)交于點D,與x軸交于點F,連接AC,CD,線段AC與線段DF交于點G,求證:△AGF≌△CGD;
(3)直線y=m(m>0)與該拋物線的交點為M,N(點M在點N的左側(cè)),點M關(guān)于y軸的對稱點為點M′,點H的坐標(biāo)為(1,0),若四邊形NHOM′的面積為,求點H到OM′的距離d.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市將實行居民生活用電階梯電價方案,如下表,圖中折線反映了每戶居民每月電費(fèi)(元)與用電量(度)間的函數(shù)關(guān)系.
檔次 | 第一檔 | 第二檔 | 第三檔 |
每月用電量(度) |
(1)小王家某月用電度,需交電費(fèi)___________元;
(2)求第二檔電費(fèi)(元)與用電量(度)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)小王家某月用電度,交納電費(fèi)元,請你求出第三檔每度電費(fèi)比第二檔每度電費(fèi)多多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了預(yù)防疾病,某單位對辦公室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成為正比例,藥物燃燒后,y與x成反比例(如圖),現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢,此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量6毫克,請根據(jù)題中所提供的信息,解答下列問題:
(1)藥物燃燒時,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________,自變量x的取值范為________;藥物燃燒后,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________.
(2)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進(jìn)辦公室,那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過________分鐘后,員工才能回到辦公室;
(3)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時,才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一不透明的布袋里,裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球(除顏色外其余都相同),其中有紅球2個,藍(lán)球1個,黃球若干個,現(xiàn)從中任意摸出一個球是紅球的概率為.
(1)求口袋中黃球的個數(shù);
(2)甲同學(xué)先隨機(jī)摸出一個小球(不放回),再隨機(jī)摸出一個小球,請用“樹狀圖法”或“列表法”,
求兩次摸 出都是紅球的概率;
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