Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）直線(xiàn)y＝﹣x﹣2與該拋物線(xiàn)在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)F，連接AC，CD，線(xiàn)段AC與線(xiàn)段DF交于點(diǎn)G，求證：△AGF≌△CGD；

（3）直線(xiàn)y＝m（m＞0）與該拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M′，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，0），若四邊形NHOM′的面積為，求點(diǎn)H到OM′的距離d．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣x﹣3,C(0,-3);(2)見(jiàn)解析;(3)

【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，可得拋物線(xiàn)的解析式；

（2）根據(jù)F（-2，0），A（-1，0），可得AF=1，再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），可得CD∥x軸，CD=1，再根據(jù)∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出OH=1=M'N，進(jìn)而判定四邊形OM'NH是平行四邊形，再根據(jù)四邊形OM'NH的面積為，求得OP=，再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），得到PM'＝ Rt△OPM'中，運(yùn)用勾股定理可得OM'=，最后根據(jù)OM'×d=，即可得到d=．

（1）∵拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴該拋物線(xiàn)的解析式y＝x2﹣x﹣3．

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）；

（2）證明：∵直線(xiàn)EF的解析式為y＝﹣x﹣2，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣2，

∴F（﹣2，0），OF＝2，

∵A（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴AF＝2﹣1＝1，

由解得，，

∵點(diǎn)D在第四象限，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣3），

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

∴CD∥x軸，CD＝1，

∴∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG，

在△AGF與△CGD中

∴△AGF≌△CGD（ASA）；

（3）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝，直線(xiàn)y＝m（m＞0）與該拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為M，N，

∴點(diǎn)M、N關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)，

設(shè)N（t，m），則M（1﹣t，m），

∵點(diǎn) M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M'，

∴M'（t﹣1，m），

∴點(diǎn)M'在直線(xiàn)y＝m上，

∴M'N∥x軸，

∴M'N＝t﹣（t﹣1）＝1，

∵H（1，0），

∴OH＝1＝M'N，

∴四邊形OM'NH是平行四邊形，

設(shè)直線(xiàn)y＝m與y軸交于點(diǎn)P，

∵四邊形OM'NH的面積為，

∴OH×OP＝1×m＝，即m＝，

∴OP＝，

當(dāng)x2﹣x﹣3＝時(shí)，

解得x1＝﹣，x2＝，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，），

∴M'（，），即PM'＝，

∴Rt△OPM'中，OM'＝＝，

∵四邊形OM'NH的面積為 ，

∴OM'×d＝，

∴d＝．