Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（3，2），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP，如果點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在x軸上，求直線AP的截距；

（3）在（2）小題的條件下，如果點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AP上一點(diǎn)．當(dāng)△EAO與△EAF全等時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或3﹣6

【解析】

（1）把和點(diǎn)代入拋物線的解析式，列方程組，可得結(jié)論；

（2）如圖1，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得，可得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，列方程可得結(jié)論；

（3）分兩種情況：先說(shuō)明是直角三角形，所以也是直角三角形，根據(jù)，畫圖，由勾股定理列方程可解答．

解：（1）拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，

，

解得，

；

（2）如圖1，連接，，

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，

，

與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

，

，

點(diǎn)，

設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，

設(shè)，則，

在中，，

，

，

直線的截距為；

（3）點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，

是直角三角形，且

當(dāng)與全等時(shí)，存在兩種情況：

①如圖2，當(dāng)，，

，

，，

，

，

由（2）知：，

，

中，，

，

解得：或（舍，

點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；

②如圖3，當(dāng)，，

，，

中，，

，，

中，由勾股定理得：，

，

解得：，

點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；

綜上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是或．