Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=

3

5

，AB=10cm，點D是BC上一定點．動點P從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運動，動點Q從D出發(fā)，以1cm/s的速度沿D→B方向運動．點P出發(fā)5秒后，點Q才開始出發(fā)，且當(dāng)一個點達到B時，另一個點隨之停止．圖2是△BPQ的面積S（cm²）與點P的運動時間t（s）的部分函數(shù)圖象．

（1）求：AC、BC、CD的長度．
（2）①在圖2中，補全5≤t≤8的圖象，并在（　�。﹥�(nèi)填上相應(yīng)的值．
     ②當(dāng)直線PQ將△ABC的面積分成1：3的兩部分時，求t的值．
（3）當(dāng)點P在邊AB上時，是否存在這樣的t的值，使得△BPQ為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用∠ABC的正弦值列式求出AC的值，再利用勾股定理類似求出BC的值，然后根據(jù)點P到達點A時，△BPQ的面積列式求出BD的長，再根據(jù)CD=BC-BD計算即可得解；
（2）①先確定出5≤t≤8時，點P在AB上，然后表示出BP、BQ，再利用∠ABC的正弦值求出點P到BQ的距離，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
②根據(jù)CD的長度，點P到達點A時符合要求；點P在AB上時，先求出△ABC的面積，再分△BPQ的面積為△ABC面積被分成兩個部分中的1份和3份兩種情況列出方程求解即可；
（3）先判斷出點P在AC上時，∠BQP＞90°，只有點P在AB上時，△BPQ有可能為直角三角形，然后表示出BP、BQ，再分∠BPQ和∠BQP為直角時，利用∠ABC的余弦值列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵∠C=90°，sin∠ABC=

3

5

，AB=10cm，
∴AC=AB•sin∠ABC=10×

3

5

=6cm，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8cm，
由圖2可知，點P到達點A時，△BPQ的面積最大，
所以，

1

2

BD•AC=18，
即

1

2

BD•6=18，
解得BD=6cm，
∴CD=BC-BD=8-6=2cm；

（2）①∵點P的速度為2cm/s，
∴點P在AC上運動的時間為6÷=3秒，
∴5≤t≤8，點P在AB上，點Q在BD上，
此時BP=10+6-2t=16-2t，
BQ=6-（t-5）=11-t，
點P到BQ的距離為BP•sin∠ABC=

3

5

（16-2t），
△BPQ的面積S=

1

2

×（11-t）×

3

5

（16-2t）=

3

5

（t²-19t+88），
所以，t=5時，S=

3

5

（5²-19×5+88）=

54

5

，
補全圖2如圖所示；

②∵CD=2cm，BD=6cm，
∴t=3時，點P與點A重合，點Q在點D還沒有出發(fā)，
此時S_△PCQ：S_△PBQ=1：3，
點P在AB上時，S_△ABC=

1

2

×8×6=24cm²，
∵直線PQ將△ABC的面積分成1：3的兩部分，
∴若

3

5

（t²-19t+88）=

1

1+3

×24，
則t²-19t+78=0，
解得t₁=6，t₂=13（舍去），
若

3

5

（t²-19t+88）=

3

1+3

×24，
則t²-19t+58=0，
解得t=

19± 129

2

（舍去），
綜上所述，直線PQ將△ABC的面積分成1：3的兩部分時，t=3或6秒；

（3）點P在AC上時，∠BQP＞90°，
所以，只有點P在AB上時，△BPQ有可能為直角三角形，
由（2）可知BP=16-2t，BQ=11-t，
若∠BPQ=90°，則cos∠ABC=

16-2t

11-t

=

8

10

，
解得t=6，
若∠BQP=90°，則cos∠ABC=

11-t

16-2t

=

4

5

，
解得t=3，
此時BQ=11-3=8不符合題意，
綜上所述，t=6秒時，△BPQ為直角三角形．

點評：本題考查了相似形綜合題型，主要利用了解直角三角形，三角形的面積，以及銳角三角函數(shù)，難點在于（2）（3）兩個小題要分情況討論，根據(jù)點Q在點P出發(fā)后5秒鐘才開始出發(fā)表示出BQ的長度是本題容易出錯的地方．