Question

如圖所示，直線y=-3x-5分別交x軸、y軸于A、B兩點，直線CD與x軸，y軸分別交于C、D兩點，5OC=9OB，∠OCD=45°．
（1）求直線CD的解析式；
（2）點P（0，t）為線段OB上一點，過點P作x軸的平行線分別交直線AB、CD于點M、N，設MN的長度為d，求d與t之間的函數(shù)關系式；
（3）在（2）的條件下，當過D、M、N三點的圓與x軸相切時，求點P的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）求得直線y=-3x-5與y軸的交點，則OB的長度即可求解，然后根據(jù)5OC=9OB求得OD的長，得到D的坐標，然后根據(jù)∠OCD=45°得到△OCD是等腰直角三角形，則C的坐標即可求解，利用待定系數(shù)法即可求得直線CD的解析式；
（2）M、N兩點的縱坐標都是t，在兩個直線解析式中，令y=t，即可求得M、N的橫坐標，則MN的長即可求得，即可求得函數(shù)解析式；
（3）利用t表示出圓心的坐標，過D、M、N三點的圓與x軸相切時，圓心到x軸的距離，即點的縱坐標等到D的距離，據(jù)此即可列方程求得t，則P的坐標即可求解．

解答：解：（1）在y=-3x-5中，令x=0，解得：y=-5，則B的坐標是（0，-5），則OB=5，
∵5OC=9OB，
∴OB=9，
則B的坐標是（0，-9），
∵直角△OCD中，∠OCD=45°，
∴OC=OD，
∴C的坐標是（9，0）．
設直線CD的解析式是：y=kx+b，則

b=-9 9k+b=0

，
解得：

b=-9 k=1

，
則直線CD的解析式是：y=x-9；

（2）在y=-3x-5中，令y=t，解得：x=-

t+5

3

，
在y=x-9中，令y=t，解得：x=9+t，
則MN=（9+t）+

t+5

3

=

4t+32

3

，
則函數(shù)解析式是：d=

4t+32

3

；

（3）M的坐標是：（9+t，t），N的坐標是（-

t+5

3

，t），
則MN的中點的橫坐標是：

23+t

4

，
則圓心M的坐標是（

23+t

4

，t），
則MD=

(t+9)2+( 23+t 4 )2

，
根據(jù)題意得：（t+9）²+（

23+t

4

）²=t²．
解得：t=12

181

-167．
則P的坐標是（0，12

181

-167）．

點評：本題考查了一次函數(shù)與直線和圓的位置關系，直線和圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑．