Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°得△EDC．將△EDC演這個C方向平移得到△E₁D₁C₁．

（1）當點D₁剛好落在斜邊AB上如圖1，求平移距離；
（2）設E₁D₁與邊BC交于點N，C₁D₁與邊AB交于點M，當MN∥AC時，求平移的距離．

Answer 1

考點：平移的性質

專題：

分析：（1）利用旋轉的性質以及銳角三角函數關系求出AC，CE的長，進而求出DD₁的長；
（2）利用旋轉的性質以及銳角三角函數關系求出AC，CE的長，進而四邊形D₁MND是平行四邊形，得出△BMN∽△BAC，即可求出平移的距離．

解答：解：（1）如圖1，連接DD₁，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°得△EDC，
∴AC=CD=1，BC=CE=

3

，
∴tan30°=

DD1

BD

=

DD1

BC-CD

=

DD1

3 -1

=

3

3

，
解得：D₁D=

3- 3

3

，
∴平移距離為：

3- 3

3

；

（2）如圖2，連接DD₁，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°得△EDC，
∴AC=CD=1，BC=CE=

3

，
當MN∥AC時，∵D₁D∥MN，CD∥C₁D₁，
∴四邊形D₁MND是平行四邊形，
∴MN=DD₁，
∴設DD₁=x，則DN=

3

3

x，
∴CN=1-

3

3

x，
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴

MN

AC

=

BN

BC

，
∴

x

1

=

3 -1+ 3 3 x

3

，
解得：x=

3- 3

2

，
∴當MN∥AC時，平移的距離為：

3- 3

2

．

點評：此題主要考查了平移的性質以及相似三角形的判定與性質和旋轉的性質等知識，利用平移的性質得出對應線段關系是解題關鍵．