【題目】如圖,E是正方形ABCD的對角線BD上一點,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分別是F、G.求證:AE=FG.
【答案】證明見解析.
【解析】
試題分析:根據(jù)題意我們不難得出四邊形GEFC是個矩形,因此它的對角線相等.如果連接EC,那么EC=FG,要證明AE=FG,只要證明EC=AE即可.證明AE=EC就要通過全等三角形來實現(xiàn).三角形ABE和BEC中,有∠ABD=∠CBD,有AB=BC,有一組公共邊BE,因此構(gòu)成了全等三角形判定中的SAS,因此兩三角形全等,得AE=EC,即AE=GF.
試題解析:連接EC.
∵四邊形ABCD是正方形,EF⊥BC,EG⊥CD,
∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°,
∴四邊形EFCG為矩形.
∴FG=CE.
又BD為正方形ABCD的對角線,
∴∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中,
,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=EC.
∴AE=FG.
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【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC.線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,連接BE.
(1)當(dāng)∠A=40°時,求∠CBE的度數(shù);
(2)若△ABC周長為18,底邊BC=4,則△BEC周長為多少?
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【題目】如圖,已知△ABC和△A″B″C″及點O.
(1)畫出△ABC關(guān)于點O對稱的△A′B′C′;
(2)若△A″B″C″與△A′B′C′關(guān)于點O′對稱,請確定點O′的位置;
(3)探究線段OC′與線段CC″之間的關(guān)系,并說明理由.
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【題目】在一個不透明的布袋里裝有4個標(biāo)有1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小完全相同,小明從布袋里隨機取出一個小球,記下數(shù)字為x,小紅在剩下的3個小球中隨機取出一個小球,記下數(shù)字為y
(1)計算由x、y確定的點(x,y)在函數(shù)y=﹣x+5的圖象上的概率.
(2)小明和小紅約定做一個游戲,其規(guī)則為:若x、y滿足xy>6,則小明勝;若x、y滿足xy<6,則小紅勝,這個游戲公平嗎?請說明理由;若不公平,請寫出公平的游戲規(guī)則.
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【題目】如圖,點P是菱形ABCD內(nèi)一點,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分別是E和F,若PE=PF,下列說法不正確的是( )
A. 點P一定在菱形ABCD的對角線AC上
B. 可用HL證明Rt△AEP≌Rt△AFP
C. AP平分∠BAD
D. 點P一定是菱形ABCD的兩條對角線的交點
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【題目】將矩形ABCD折疊使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,
(1)求證:四邊形AECF為菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形的邊長;
(3)在(2)的條件下折痕EF的長.
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【題目】(閱讀)如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,
∠AOC=∠BCO=90°,經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與OC所成的角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點C落在點D處,我們把這個操作過程記為FZ[θ,a].
(理解)
若點D與點A重合,則這個操作過程為FZ[45°,3];
(嘗試)
(1)若點D恰為AB的中點(如圖2),求θ;
(2)經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點B落在點E處,若點E在四邊形OABC的邊AB上,求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動,同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,它們的速度均為2cm/s.連接PQ,設(shè)運動的時間為t(單位:s)(0≤t≤4).解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,PQ∥BC.
(2)設(shè)△AQP面積為S(單位:cm2),當(dāng)t為何值時,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
(4)如圖2,把△AQP沿AP翻折,得到四邊形AQPQ′.那么是否存在某時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形?若存在,求出此時菱形的面積;若不存在,請說明理由.
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【題目】取一副三角板按如圖所示拼接,固定三角板ADC,將三角板ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為α(0°<α≤45°),得到△ABC′.
①當(dāng)α為多少度時,AB∥DC?
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時,α為多少度?
③連接BD,當(dāng)0°<α≤45°時,探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況,并給出你的證明.
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