Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過(guò)P作PF⊥AE于F，設(shè)PA=x．
（1）求證：△PFA∽△ABE；
（2）當(dāng)P也是AD邊中點(diǎn)時(shí)，求AF的值；
（3）若以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似，試求x的值；
（4）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，設(shè)PF交CD于點(diǎn)G，試判斷∠GAE與∠BAE的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）先證明∠PAF=∠AEB，再由∠PFA=∠ABE=90°，即可證出△PFA∽△ABE．
（2）當(dāng)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，AP=2，由△PFA∽△ABE，得出

AF

BE

=

AP

AE

，即

AF

2

=

2

2 5

，∴AF=

2 5

5

；
（3）分兩種情況：當(dāng)△EFP∽△ABE時(shí)，則PE∥AB，得出四邊形ABEP為矩形．求出PA=EB=2，即x=2；當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時(shí)，先求出∠PAF=∠AEB，AE=

AB2+BE2

=

42+22

=2

5

，再得出EF=

1

2

AE=

5

，由

PE

AE

=

EF

EB

，求出PE=5，即x=5；
（4）先證明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再證明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE=∠BAE．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC=AD=4，
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．
∴△PFA∽△ABE．

（2）解：當(dāng)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，AP=2，
∵△PFA∽△ABE，
∴

AF

BE

=

AP

AE

，即

AF

2

=

2

2 5

，
∴AF=

2 5

5

；

（3）解：分兩種情況：
①當(dāng)△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB時(shí)，
則有PE∥AB
∴四邊形ABEP為矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
②當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時(shí)，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)．
∵AE=

AB2+BE2

=

42+22

=2

5

，
∴EF=

1

2

AE=

5

，
∵

PE

AE

=

EF

EB

，即

PE

2 5

=

5

2

，
∴PE=5，即x=5；
∴滿(mǎn)足條件的x的值為2或5；

（4）∠GAE=∠BAE；
解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=4，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=2，
∴AE=

42+22

=2

5

，
∵PE⊥AE，
∴∠AEP=90°，∠AEB+∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠BAE，
∴△ECG∽△ABE，
∴

CG

BE

=

CE

AB

，即

CG

2

=

2

4

，
∴CG=1，
∴EG=

12+22

=

5

，
∵

EG

AE

=

5

2 5

=

1

2

，

BE

AB

=

2

4

=

1

2

，
∴

EG

AE

=

BE

AB

，
又∵∠AEP=∠B=90°，
∴△AEG∽△ABE，
∴∠GAE=∠BAE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出比例式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．