【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點A(2,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)點B在軸的上,且OA=BA,反比例函數(shù)圖像上有一點C,且∠ABC=90°,求點C坐標.
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為:;(2)點C坐標為(4,).
【解析】
(1)將點A坐標代入正比例函數(shù)解析式求出m,可得點A的完整坐標,再將點A代入反比例函數(shù)的解析式求出k即可;
(2)過點A作AD垂直OB于D,根據(jù)等腰三角形三線合一可得OD=BD,求出B點坐標,利用兩點間距離公式表示出AB、BC和AC,根據(jù)∠ABC=90°利用勾股定理列出方程,解方程即可解決問題.
解:(1)將點A(2,m)代入,得:,
∴A(2,),
將點A(2,)代入得:,
∴,
∴反比例函數(shù)的解析式為:;
(2)過點A作AD垂直OB于D,
∵OA=BA,
∴OD=BD,
∵A(2,),
∴OD=2,
∴OB=4,即B(4,0),
設(shè)點C坐標為(a,),
則,,,
∵∠ABC=90°,
∴,即,
整理得:,
解得:a=4或-3,
經(jīng)檢驗,a=4或-3均是分式方程的解,
∵x>0,
∴a=4,
∴點C坐標為(4,).
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【題目】如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,點P為AB上一動點,連接DB、DP,AE⊥DP于E.
(1)如圖①,若P為AB的中點,則= ; = ;
(2)如圖②,若時,證明:AC=4BF;
(3)如圖③,若P在BA的延長線上,當= 時,.
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【題目】解答下列問題:
在一個不透明的口袋中有個紅球和若干個白球,這些球除顏色不同外其他都相同,請通過以下實驗估計口袋中白球的個數(shù):從口袋中隨機摸出一球,記下顏色,再把它放回袋中,不斷重復上述過程,實驗總共摸了次,其中有次摸到了紅球,那么估計口袋中有白球多少個?
請思考并作答:
在一個不透明的口袋里裝有若干個形狀、大小完全相同的白球,在不允許將球倒出來的情況下,如何估計白球的個數(shù)(可以借助其它工具及用品)?寫出解決問題的主要步驟及估算方法,并求出結(jié)果(其中所需數(shù)量用、、等字母表示).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(0,3)、B(3,0),以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P.連接AP,若點C為AP的中點,連接OC,則OC的最小值為( )
A. 1 B. ﹣1 C. D. 2﹣1
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【題目】已知:如圖,△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,過點D作DE⊥AC于點E,交BC的延長線于點F.
求證:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切線.
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【題目】如果一個分式的分子或分母可以因式分解,且這個分式不可約分,那么我們稱這
個分式為“和諧分式”.
(1)下列分式:①;②;③;④. 其中是“和諧分式”是 (填寫序號即可);
(2)若為正整數(shù),且為“和諧分式”,請寫出的值;
(3)在化簡時,
小東和小強分別進行了如下三步變形:
小東:
小強:
顯然,小強利用了其中的和諧分式, 第三步所得結(jié)果比小東的結(jié)果簡單,
原因是: ,
請你接著小強的方法完成化簡.
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【題目】書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書,第一次用 1200 元購買若干本,按 每本 10 元出售,很快售完.第二次購買時,每本書的進價比第一次提高了 20%,他用1500 元所購買的數(shù)量比第一次多 10 本.
(1)求第一次購買的圖書,每本進價多少元?
(2)第二次購買的圖書,按每本 10 元售出 200 本時,出現(xiàn)滯銷,剩下的圖書降價后全部 售出,要使這兩次銷售的總利潤不低于 2100 元,每本至多降價多少元?(利潤=銷售收入一進價)
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【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.已知點A的坐標為(﹣1,0),點O為坐標原點,OC=3OA,拋物線C1的頂點為G.
(1)求出拋物線C1的解析式,并寫出點G的坐標;
(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′,頂點為G′,當△A′B′G′是等邊三角形時,求k的值:
(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點M為x軸正半軸上一動點,過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點,試探究在直線y=﹣1上是否存在點N,使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點M,N的坐標:若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=,∠B=120°,點E是AD邊上的一個動點(不與A,D重合),EF∥AB交BC于點F,點G在CD上,DG=DE.若△EFG是等腰三角形,則DE的長為_____.
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