Question

如圖1，梯形中，∥，，．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，交折線段于點(diǎn)，以為邊向右作正方形，點(diǎn)在射線上，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．

（1）當(dāng)正方形的邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形與△的重合部分面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段與對(duì)角線交于點(diǎn)，將△沿翻折，得到△，連接．是否存在這樣的，使△是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）當(dāng)t=4時(shí)，正方形PQMN的邊MN恰好過(guò)點(diǎn)D

（2）

 

（3）當(dāng)時(shí)，∆PEF是等腰三角形

【解析】

試題分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，可以得出四邊形AGHD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相關(guān)條件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出結(jié)論t的值；

（2）運(yùn)用求分段函數(shù)的方法，分四種情況，當(dāng)0＜t≤3，當(dāng)3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8時(shí)，運(yùn)用梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以求出S的值；

（3）先由條件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分為三種情況：EF=EP時(shí)可以求出t值，當(dāng)FE=FP時(shí)，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當(dāng)PE=PF時(shí)，作PS⊥EF，垂足為S，可以求出t值．

試題解析：（1）如圖2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，則四邊形AGHD是矩形。

∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5，

∴∆ABG≌∆DCH，

∴,

∴當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，此時(shí)MQ=4，

,

∴當(dāng)t=4時(shí)，正方形PQMN的邊MN恰好過(guò)點(diǎn)D。

（2）

如圖1，當(dāng)0<t≤3時(shí)，BP=t,∵

∴，

如圖3，當(dāng)3<t≤4時(shí)，BP=t,

∴

如圖4，當(dāng)4<t≤7時(shí)，BP=t,

∴

如圖5，當(dāng)7<t≤8時(shí)，BP=t,

∴

∴

（3）∵,

∴

∴

由（1）可知則

如圖6，當(dāng)EF=EP時(shí)，

∴

如圖7，當(dāng)FE=FP時(shí)，作FR⊥EP于R，∴

∴

∴

如圖8，當(dāng)PE=PF時(shí)，作PS⊥EF于S，∴

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)，∆PEF是等腰三角形。

考點(diǎn)：相似形綜合題．