Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²-

4

3

x+2過點(diǎn)B（1，0）．

（1）求拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及與x軸的另一交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）以AC為邊在第二象限畫正方形ACPQ，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）把（2）中的正方形ACPQ和拋物線沿射線AC一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q與y軸重合時(shí)，求運(yùn)動(dòng)后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)解析式即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法，求得a，然后令y=0，解方程即可求得A的坐標(biāo)．
（2）依據(jù)三角形全等即可P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求得解析式，求得與y軸的交點(diǎn)Q′(0，

19

3

)，點(diǎn)Q（-5，3）移動(dòng)到點(diǎn)Q′(0，

19

3

)，向右平移了5個(gè)單位長度，向上平移了

10

3

個(gè)單位長度，頂點(diǎn)(-1，

8

3

)移動(dòng)后應(yīng)是（4，6）．

解答：解：（1）把B（1，0）代入拋物線y=ax²-

4

3

x+2，
得a-

4

3

+2=0，
解得a=-

2

3

．
所以y=-

2

3

x²-

4

3

x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
所以拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
當(dāng)y=0時(shí)，-

2

3

x²-

4

3

x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-3，
所以拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）；

（2）過P點(diǎn)作PE⊥y軸于E，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F．
∵四邊形ACPQ是正方形，
∴AC=CP=AQ，∠QAC=∠ACP=90°，
∴∠ACO+∠PCE=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠PCE，
在△AOC與△PCE中，

∠OAC=∠PCE ∠AOC=∠PEC AC=CP

，
∴△AOC≌△PCE（AAS），
∴PE=OC=2，CE=AO=3，
∴OE=OC+CE=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，5）．
同理△AOC≌△QFA，
∴QF=AO=3，AF=OC=2，
∴OF=AF+OA=5，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5，3）；

（3）設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b
把P（-2，5），Q（-5，3）代入y=kx+b得

-2k+b=5 -5k+b=3

解，
得

k= 2 3 b= 19 3

．
∴y=

2

3

x+

19

3

，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=

19

3

∴直線PQ與y軸的交點(diǎn)Q′(0，

19

3

)，
∴點(diǎn)Q（-5，3）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q′(0，

19

3

)．
∴向右平移了5個(gè)單位長度，向上平移了

10

3

個(gè)單位長度．
∵拋物線y=-

2

3

x2-

4

3

x+2的頂點(diǎn)為(-1，

8

3

)
∴運(yùn)動(dòng)后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，6）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形全等的判定和性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問題，動(dòng)點(diǎn)問題的解決關(guān)鍵是找到特殊分界點(diǎn)，進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵，此題綜合性較強(qiáng)，分析過程中必須細(xì)心．