Question

已知反比例函數(shù)y=

1-2m

x

（m為常數(shù)）的圖象在一、三象限．
（1）求m的取值范圍；
（2）如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過?ABOD的頂點D，點A、B的坐標分別為（0，3），（-2，0）．
①求出函數(shù)解析式；
②設(shè)點P是該反比例函數(shù)圖象上的一點，若OD=OP，則P點的坐標為

 

；若以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為

 

個．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,等腰三角形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得1-2m＞0，然后解不等式得到m的取值范圍；
（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥OB，AD=OB=2，易得D點坐標為（2，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得1-2m=6，則反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
②根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱可得點D關(guān)于原點的對稱點P滿足OP=OD，則此時P點坐標為（-2，-3）；再根據(jù)反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象關(guān)于直線y=x對稱，可得點D（2，3）關(guān)于直線y=x對稱點P滿足OP=OD，此時P點坐標為（3，2），易得點（3，2）關(guān)于原點的對稱點P也滿足OP=OD，此時P點坐標為（-3，-2）；由于以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，所以以D點為頂點可畫出點P₁，P₂；以O(shè)點頂點可畫出點P₃，P₄，如圖．

解答：解：（1）根據(jù)題意得1-2m＞0，
解得m＜

1

2

；

（2）①∵四邊形ABOD為平行四邊形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又∵A點坐標為（0，3），
∴D點坐標為（2，3），
∴1-2m=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
②∵反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象關(guān)于原點中心對稱，
∴當點P與點D關(guān)于原點對稱，則OD=OP，此時P點坐標為（-2，-3），
∵反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴點P與點D（2，3）關(guān)于直線y=x對稱時滿足OP=OD，
此時P點坐標為（3，2），
點（3，2）關(guān)于原點的對稱點也滿足OP=OD，
此時P點坐標為（-3，-2），
綜上所述，P點的坐標為（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
由于以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，則以D點為圓心，DO為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點P₁，P₂，則點P₁，P₂滿足條件；以O(shè)點為圓心，OD為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點P₃，P₄，則點P₃，P₄也滿足條件，如圖，作線段OD的垂直平分線，與反比例函數(shù)的圖象無交點．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)和其圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．