Question

【題目】如圖1，放置的一副三角尺，將含45°角的三角尺斜邊中點O為旋轉中心，逆時針旋轉30°得到如圖2，連接OB、OD、AD．

（1）求證：△AOB≌△AOD；

（2）試判定四邊形ABOD是什么四邊形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ABOD是菱形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，由直角三角形斜邊上的中線性質得出OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，由等腰三角形的性質得出OD⊥EF，證出△AOB是等邊三角形，得出∠AOB=60°，由旋轉的性質得：∠AOE=30°，證出∠AOD=60°，由SAS證明△AOB≌△AOD即可；

（2）由全等三角形的性質得出AB=AD=OB=OD，即可得出四邊形ABOD是菱形．

試題解析：（1）證明：根據(jù)題意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC．

∵O為AC的中點，∴OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，OD⊥EF，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，由旋轉的性質得：∠AOE=30°，∴∠AOD=90°﹣30°=60°．

在△AOB和△AOD中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=60°，OB=OD，∴△AOB≌△AOD（SAS）；

（2）解：四邊形ABOD是菱形．理由如下：

∵△AOB≌△AOD，∴AB=AD，∴AB=AD=OB=OD，∴四邊形ABOD是菱形．