Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對(duì)稱軸直線x=-1交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)K是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且S△KAC=S△DAC求點(diǎn)K的坐標(biāo)；

（3）如圖2若點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠DPM=30°，DP⊥DM，則點(diǎn)P的線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)不變，M點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，）或（，）；(3) ．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件可得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，只需解這個(gè)方程組就可解決問(wèn)題；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，連接EK交y軸于F，連接EC，如圖1，運(yùn)用割補(bǔ)法可求出△DAC的面積，易得S△ADC=S△AEC，由S△KAC=S△DAC，可得S△KAC=S△EAC，從而可得EK∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例可求出OF，然后運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線EK的解析式，只需求出直線EK與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)就可解決問(wèn)題；

（3）設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M′，點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M″，如圖2．易證△DPC∽△DMM″，△DAC∽△DM′M″，從而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，由于∠DCP是定值，因此點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是線段M′M″，然后只需根據(jù)△DM′M″∽△DAC，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）由題意可得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，連接EK交y軸于F，連接EC，如圖1．

由y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4可得頂點(diǎn)D為（-1，4），

∴S△ADC=S梯形AOHD-S△OAC-S△DHC

=（1+3）×4-×3×3-×1×（4-3）=3．

又∵S△AEC=AEOC=×2×3=3，

∴S△ADC=S△AEC．

∵S△KAC=S△DAC，

∴S△KAC=S△EAC，

∴EK∥AC，

∴，

∴，

∴OF=1，F(xiàn)（0，1）．

設(shè)直線EK的解析式為y=mx+n，則有，

解得，

∴直線EK的解析式為y=x+1．

解方程組，得，

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，）或（，）；

（3）設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M′，點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)M″，如圖2．

∵∠CDM″=∠PDM=90°，∠DPM=∠DCM″=30°，

∴，∠PDC=∠MDM″，

∴△DPC∽△DMM″，

∴∠DCP=∠DM″M．

同理可得△DAC∽△DM′M″，

∴∠DCA=∠DM″M′．

∴∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，

∵∠DCP是定值，

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是線段M′M″．

∵△DM′M″∽△DAC，

∴．

∵AC=，

∴M′M″=，

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．