Question

【題目】如圖，四邊形是菱形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸相交于點(diǎn)，連接．

（1）求菱形的邊長(zhǎng)；

（2）證明為直角三角形；

（3）直線上是否存在一點(diǎn)使得的面積與的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）證明見(jiàn)解析；（3）為或．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用A點(diǎn)坐標(biāo)及勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出B,C點(diǎn)坐標(biāo)，再求出AC的解析式，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD,BC的解析式，根據(jù)k的值即可判斷；

（3）根據(jù)△與的面積相等，故同底等高，于是延長(zhǎng)BD交AO于P，即為所求，聯(lián)立兩直線的解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出另一點(diǎn)坐標(biāo)．

解（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，

∴

（2）∵為菱形，∴，

∴

又∵，

∴

又∵，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)

把A,C代入得，

解得，

∴，

令x=0,y=，

∴點(diǎn)

設(shè)直線BC的解析式為y=px+q(p≠0)

把B,C代入得，

解得，

∴，

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n(m≠0)

把B,D代入得，

解得，

∴，

∴

∵，

∴

所以為直角三角形；

（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵，

∴

∵，

設(shè)直線AO的解析式為y=cx（c≠0），

把A代入得12=-5c，

解得c=，

∴，

由（2）知聯(lián)立得：

，

解得，

所以點(diǎn)，

作關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，

設(shè)P’（x,y），

可根據(jù)中點(diǎn)得：，

解得，

∴，

綜上點(diǎn)為或．