Question

【題目】已知直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+ ）= ，圓C的參數(shù)方程為： （其中θ為參數(shù)）．
（1）判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系；
（2）若橢圓的參數(shù)方程為 （φ為參數(shù)），過(guò)圓C的圓心且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)l′與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

【答案】
（1）解：將直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程 ，化為直角坐標(biāo)方程：x+y﹣1=0．

將圓C的參數(shù)方程化為普通方程：x2+（y+2）2=4，圓心為C（0，﹣2），半徑r=2．

∴圓心C到直線(xiàn)l的距離為d= ＞r=2，

∴直線(xiàn)l與圓C相離．

（2）解：將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程為 ，

∵直線(xiàn)l：x+y﹣1=0的斜率為k1=﹣1，

∴直線(xiàn)l'的斜率為k2=1，即傾斜角為 ，

則直線(xiàn)l'的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），

即 （t為參數(shù)），

把直線(xiàn)l'的參數(shù)方程 代入 ，

整理得7t2﹣16 t+8=0．（*）

由于△=（﹣16 ）2﹣4×7×8＞0，

故可設(shè)t1，t2是方程（*）的兩個(gè)不等實(shí)根，則有t1t2= ， ，

|AB|=

【解析】（1）將直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將圓C的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心C到直線(xiàn)l的距離，由此得到直線(xiàn)l與圓C相離．（2）將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程為 ，求出直線(xiàn)l'的參數(shù)方程，把直線(xiàn)l'的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程，得7t2﹣16 t+8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式能求出|AB|．