Question

如圖1，在平面直角坐標系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線經過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點．

(1) 求點A坐標；

(2)若點P為x軸上一動點．點Q的坐標是（，），△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．求出的值并寫出點Q的坐標．

（3）在(2)的條件下，若D是坐標平面內任意一點，使點A、P、Q、D剛好能構成平行四邊形，請直接寫出符合條件的點D的坐標

．

 

 

Answer 1

（1）A（2，2）；（2）a=4，Q（4，1）（3）D點的坐標為（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，根據(jù)直角三角形的性質可設點A的坐標為（a，a），因為點A在直線y=2x﹣2上，即把A點坐標代入解析式即可算出a的值，進而得到A點坐標．

（2）連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出∠AOP=∠ABQ=45，從而求得QB⊥OB，根據(jù)B點、Q點的縱坐標相等得出結果．

（3）因為點D與A，P，Q三點構成平行四邊形，所以需分情況討論：因為A（2，2），P（﹣1，0），Q（4，1），利用平行四邊形的對邊分別平行且相等，

若QD∥BA，則符合條件的點D的坐標分別是D1（5，3），D2（3，﹣2）；若PD∥QA，則符合條件的點D的坐標分別是D2（3，﹣2），D3（﹣1，1）．

試題解析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴AM=AN．

設點A的坐標為（a，a），

∵點A在直線y=2x﹣2上，

∴a=2a﹣2，

解得a=2，

∴A（2，2）

（2）連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點，

則△APQ為等腰直角三角形．

∵∠OAB=∠PAQ=90°

∴∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB，

∴∠OAP=∠BAQ，

在△APO與△ABQ中

∴△APO≌△ABQ（SAS），

∴∠AOP=∠ABO=45°

∴QB⊥OB

∵A（2，2）

∴B（4，0）

∵Q點的坐標是（a，），

∴a=4，

∴Q（4，1），

（3）在（2）的條件下，若D是坐標平面內任意一點，使點A、P、Q、D剛好能構成平行四邊形，則D點的坐標為（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．

考點：一次函數(shù)綜合題．