【題目】問(wèn)題的提出:

如果點(diǎn)P是銳角ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),如何確定一個(gè)位置,使點(diǎn)PABC的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小?

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:

(1)ΔAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到連接這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問(wèn)題了,請(qǐng)你利用如圖證明:

;

問(wèn)題的解決:

(2)當(dāng)點(diǎn)P到銳角ABC的三項(xiàng)點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時(shí),請(qǐng)你用一定的數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)此時(shí)的點(diǎn)P的位置:_____________________________;

問(wèn)題的延伸:

(3)如圖是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形,如果斜邊為2,點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)你利用以上方法,求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)∠APB=APC=120°;(3

【解析】

1)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明APP'是等邊三角形,則PP'=PA,可得結(jié)論;

2)問(wèn)題的解決:

運(yùn)用類(lèi)比的思想,把APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到AP′C′,連接PP′,由問(wèn)題的轉(zhuǎn)化可知:當(dāng)B、P、P'、C'在同一直線(xiàn)上時(shí),PA+PB+PC的值為最小,確定當(dāng):∠APB=APC=120°時(shí),滿(mǎn)足三點(diǎn)共線(xiàn);

3)問(wèn)題的延伸:

如圖3,作輔助線(xiàn),構(gòu)建直角ABC',利用勾股定理求AC'的長(zhǎng),即是點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:

如圖1

由旋轉(zhuǎn)得:∠PAP'=60°,PA=P'A,

∴△APP'是等邊三角形,

PP'=PA

PC=P'C,

PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′

問(wèn)題的解決:

滿(mǎn)足:∠APB=APC=120°時(shí),PA+PB+PC的值為最小;

理由是:如圖2,把APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到AP′C′,連接PP′,

問(wèn)題的轉(zhuǎn)化可知:當(dāng)B、PP'、C'在同一直線(xiàn)上時(shí),PA+PB+PC的值為最小,

∵∠APB=120°,∠APP'=60°,

∴∠APB+APP'=180°

B、P、P'在同一直線(xiàn)上,

由旋轉(zhuǎn)得:∠AP'C'=APC=120°,

∵∠AP'P=60°,

∴∠AP'C'+AP'P=180°

P、P'C'在同一直線(xiàn)上,

BP、P'C'在同一直線(xiàn)上,

∴此時(shí)PA+PB+PC的值為最小,

故答案為∠APB=APC=120°;

問(wèn)題的延伸:

如圖3,

RtACB中,∵AB=2,∠ABC=30°,

AC=1,BC=

BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到BP′C′,連接PP′,

當(dāng)APP'、C'在同一直線(xiàn)上時(shí),PA+PB+PC的值為最小,

由旋轉(zhuǎn)得:BP=BP',∠PBP'=60°,PC=P'C',BC=BC'

∴△BPP′是等邊三角形,

PP'=PB

∵∠ABC=APB+CBP=APB+C'BP'=30°,

∴∠ABC'=90°,

由勾股定理得:AC'=,

PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=,

則點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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地鐵站

A

B

C

D

E

X(千米)

3

4

5

Y2(分鐘)

11

6

3

(1)y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求小明從學(xué);氐郊业臅r(shí)間y(單位:分鐘)與x的函數(shù)表達(dá)式;

(3)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明:小明應(yīng)選擇在哪一站下公交車(chē),才能使他從學(xué)校回家所需的時(shí)間最短?并求出最短時(shí)間.

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