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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A1,0),B﹣3,0)兩點.

1)求該拋物線的解析式;

2)設(1)中的拋物線交y軸與C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最小?若存在,求出Q點的坐標;若不存在,請說明理由;

3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.

【答案】1)拋物線解析式為:y=-x2-2x+3

2)存在,Q-12);

3)存在,點P坐標為(-,),SBPC最大=;

【解析】試題分析:(1)、將點A和點B代入函數解析式,利用待定系數法求出函數解析式;(2)、根據題意得出A、B兩點關于對稱軸對稱,則直線BCx=1的交點就是點Q,根據題意得出點C的坐標,然后利用待定系數法求出直線BC的解析式,從而得出點Q的坐標;(3)、首先設點P的坐標,然后根據△BPC的面積等于四邊形BPCO的面積減去△BOC的面積,然后列出關于x的函數解析式,從而得出最大值.

試題解析:(1)、將A10),B﹣30)代y=﹣x2+bx+c中得

拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;

(2)、存在

理由如下:由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=﹣1對稱

直線BCx=﹣1的交點即為Q點,此時△AQC周長最小∵y=﹣x2﹣2x+3 ∴C的坐標為:(0,3

直線BC解析式為:y="x+3" Q點坐標即為解得∴Q﹣1,2);

(3)、存在.

理由如下:設P點(x﹣x2﹣2x+3)(﹣3x0∵SBPC=S四邊形BPCO﹣SBOC=S四邊形BPCO

S四邊形BPCO有最大值,則SBPC就最大,

∴S四邊形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OEPE+OC=x+3)(﹣x2﹣2x+3+﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3

=

x=﹣時,S四邊形BPCO最大值=∴SBPC最大=

<>x=﹣時,﹣x2﹣2x+3=P坐標為().

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啟發(fā)應用:

如圖3:在平面直角坐標系中,已知A80),B06),C1,7),M經過原點O及點A,B,

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