Question

已知，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，過點C作⊙O的切線CE，點D是CE延長線上一點，連AD，且AD+BC=CD．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）設OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求線段BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明△AOD≌△EOD，進而得到∠DAO=∠DEO=90°，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線，證明△AEF∽△COF，進而證明CF：AF=OF：EF=3：2，根據(jù)勾股定理，結合其他知識即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接OD；
∵BC⊥AB，且AB是⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線；而DC是⊙O的切線，
∴CB=CE；DC⊥OE；
∵AD+BC=CD，
∴AD=ED；在△AOD與△EOD中，

AD=ED OD=OD OA=OE

，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠DAO=∠DEO=90°，
∴AD是⊙O的切線．
（2）如圖，連接AE、OC；
∵CB、CE均為⊙O的切線，
∴∠ECO=∠BCO，BC=EC（設為μ）；
∴∠EOC=∠BOC=

180°-∠AOE

2

；
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=

180°-∠AOE

2

，
∴∠OEA=∠EOC，
∴AE∥OC，△AEF∽△COF，
∴CF：AF=OF：EF=3：2，
設CF=3λ，則AF=2λ，AC=5λ；
由勾股定理得：CF²=2²+μ²，AC²=10²+μ²，
∴(

3λ

5λ

)2=

μ2+4

μ2+100

，
解得μ=5

2

，
即線段BC的長為5

2

．

點評：該題主要考查了切線的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合運用能力提出了較高的要求．