Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，作∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E，

（1）求證：DE∥BC；

（2）若AE=3，AD=5，點(diǎn)P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP為何值時(shí)，△DEP為等腰三角形．請(qǐng)求出所有BP的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2），2，4﹣，4+．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=AD=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DE⊥AB，再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行證明；

（2）利用勾股定理列式求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BE=AE，然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三種情況討論求解．

試題解析：（1）證明：∵∠ABC=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴BD=AD=AC，∵DE是∠ADB的角平分線，∴DE⊥AB，又∵∠ABC=90°，∴DE∥BC；

（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，∴DE= =4，∵DE⊥AB，AD=BD，∴BE=AE=3．

①DE=EP時(shí)，BP==；

②DP=EP時(shí)，BP=DE=×4=2；

③DE=DP時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，則DF=BE=3，由勾股定理得，FP==，點(diǎn)P在F下邊時(shí)，BP=4﹣，點(diǎn)P在F上邊時(shí)，BP=4+．

綜上所述，BP的值為，2，4﹣，4+．