【題目】如圖,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,點D為邊AB上一點,將△BCD沿直線CD折疊,使點B恰好落在邊OA上的點E處,分別以OC,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系.
(1)求OE的長及經過O,D,C三點拋物線的解析式;
(2)一動點P從點C出發(fā),沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動,同時動點Q從E點出發(fā),沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動,當點P到達點B時,兩點同時停止運動,設運動時間為t秒,當t為何值時,DP=DQ;
(3)若點N在(1)中拋物線的對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出M點坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=x(x+4)=x2+x;
【解析】
試題分析:(1)由折疊的性質可求得CE、CO,在Rt△COE中,由勾股定理可求得OE,設AD=m,在Rt△ADE中,由勾股定理可求得m的值,可求得D點坐標,結合C、O兩點,利用待定系數法可求得拋物線解析式;
(2)用t表示出CP、BP的長,可證明△DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;
(3)可設出N點坐標,分三種情況①EN為對角線,②EM為對角線,③EC為對角線,根據平行四邊形的性質可求得對角線的交點橫坐標,從而可求得M點的橫坐標,再代入拋物線解析式可求得M點的坐標.
試題解析:(1)∵CE=CB=5,CO=AB=4,
∴在Rt△COE中,OE==3,
設AD=m,則DE=BD=4﹣m,∵OE=3,∴AE=5﹣3=2,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4﹣m)2,解得m=,
∴D(﹣,﹣5),∵C(﹣4,0),O(0,0),∴設過O、D、C三點的拋物線為y=ax(x+4),
∴﹣5=﹣a(﹣+4),解得a=,∴拋物線解析式為y=x(x+4)=x2+x;
(2)∵CP=2t,∴BP=5﹣2t,∵BD=,DE==,∴BD=DE,
在Rt△DBP和Rt△DEQ中,,∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL),
∴BP=EQ,∴5﹣2t=t,∴t=;
(3)∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣2,∴設N(﹣2,n),
又由題意可知C(﹣4,0),E(0,﹣3),設M(m,y),
①當EN為對角線,即四邊形ECNM是平行四邊形時,
則線段EN的中點橫坐標為=﹣1,線段CM中點橫坐標為,∵EN,CM互相平分,∴=﹣1,解得m=2,又M點在拋物線上,∴y=×22+×2=16,∴M(2,16);
②當EM為對角線,即四邊形ECMN是平行四邊形時,則線段EM的中點橫坐標為,線段CN中點橫坐標為﹣3,∵EM,CN互相平分,∴=﹣3,解得m=﹣6,又∵M點在拋物線上,
∴y=×(﹣6)2+×(﹣6)=16,∴M(﹣6,16);
③當CE為對角線,即四邊形EMCN是平行四邊形時,則M為拋物線的頂點,即M(﹣2,﹣).
綜上可知,存在滿足條件的點M,其坐標為(2,16)或(﹣6,16)或(﹣2,﹣).
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【題目】在平面直角坐標系中,將點P(3,-2)向下平移4個單位長度,得到點P的坐標為( )
A. (-1,-2) B. (3,-6) C. (7,-2) D. (3,-2)
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【題目】在一個不透明的袋子中裝有4個除顏色外完全相同的小球,其中黃球1個,紅球1個,白球2個,“從中任意摸出2個球,它們的顏色相同”這一事件是事件.(填“隨機”或者“確定”)
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【題目】設 A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線 y=(x﹣1)2﹣3上的三點,則 y1,y2,y3 的大小關系為________.
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【題目】如圖所示,某中學九年級數學興趣小組測量校內旗桿AB的高度,在C點測得旗桿頂端A的仰角∠BCA=30°,向前走了20米到達D點,在D點測得旗桿頂端A的仰角∠BDA=60°,求旗桿AB的高度.(結果精確到0.1)參考數據:≈1.414,≈1.732.
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