Question

【題目】定義：若一個(gè)四邊形能被其中的一條對(duì)角線分割成兩個(gè)相似三角形，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為“友誼四邊形”．我們熟知的平行四邊形就是“友誼四邊形”，

（1）如圖1，在4×4的正方形網(wǎng)格中有一個(gè)Rt△ABC，請(qǐng)你在網(wǎng)格中找格點(diǎn)D，使得四邊形ABCD是被AC分割成的“友誼四邊形”，（要求畫(huà)出點(diǎn)D的2種不同位置）

（2）如圖2，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝8，四邊形ABCD是被BD分割成的“友誼四邊形”，求AB長(zhǎng)；

（3）如圖3，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠ABC＝60，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連結(jié)BE交CD于點(diǎn)F，連結(jié)AF，∠DAF＝30°

①求證：四邊形ABCF是“友誼四邊形”；

②若△ABC的面積為6，求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）AB＝6或8．（3）①詳見(jiàn)解析；②2

【解析】

（1）由題意可找到點(diǎn)D位置；
（2）分△ABD∽△CBD，△ABD∽△DBC兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求AB的長(zhǎng)度；
（3）①由題意可得∠ABE=∠EBC=30°，由三角形內(nèi)角和定理和圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠BAF=∠BFC，可證△ABF∽△FBC，即四邊形ABCF是“友誼四邊形”；
②由相似三角形的性質(zhì)可得BF2=ABBC，由三角形面積公式可求AB×BC=6，即可求BF的長(zhǎng)．

解：（1）畫(huà)出點(diǎn)D的2個(gè)位置．

（2）∵四邊形ABCD為被BD分割的友誼四邊形

∴△ABD與△DBC相似，

若△ABD∽△CBD

則

∴AB＝BC＝8

若△ABD∽△DBC

則

∴AB＝＝6

綜上所述：AB＝6或8．

（3）①∵E是的中點(diǎn)，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，

∴∠C+∠BFC＝150°，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴∠BAD+∠C＝180°，

∵∠DAF＝30°，

∴∠C+∠BAF＝150°，且∴∠C+∠BFC＝150°，

∴∠BAF＝∠BFC，且∠ABE＝∠CBE

∴△ABF∽△FBC．

∴四邊形ABCF為友誼四邊形

②如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC交BC與G，連接AC，

∵△ABF∽△FBC，

∴

∴BF2＝ABBC，

∵S△ABC＝BC×AG＝BC×AB×sin60°＝6

∴AB×BC＝6

∴AB×BC＝24＝BF2，且BF＞0，

∴BF＝2