Question

已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、N是切點，聯(lián)結(jié)NO并延長與DE交于點K，聯(lián)結(jié)AK并延長與BC交于點M，證明：M是BC的中點．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：證明題

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得∠BDO=∠BNO=90°，則∠BDO+∠BNO=180°，所以B、N、O、D四點共圓，則∠KOD=∠B，同理，∠KOE=∠C；再根據(jù)三角形面積公式得到

S△DKO

S△EKO

=

DK

EK

=

1 2 OD•OK•sin∠KOD

1 2 OE•OK•sin∠KOE

=

sin∠KOD

sin∠KOE

=

sinB

sinC

，即

DK

EK

=

sinB

sinC

，同樣根據(jù)三角形面積公式得到

S△ABM

S△ACM

=

BM

CM

=

1 2 AB•AM•sin∠BAM

1 2 AC•AM•sin∠CAM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，即

BM

CM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，根據(jù)三角形面積公式得到

S△ADK

S△AEK

=

1 2 AD•AK•sin∠DAK

1 2 AE•AK•sin∠EAK

，利用切線長相等得到AD=AE，所以

S△ADK

S△AEK

=

sin∠DAK

sin∠EAK

=

DK

EK

，于是

sinB

sinC

=

sin∠DAK

sin∠EAK

，所以

BM

CM

=

AB

AC

•

sinB

sinC

，然后根據(jù)正弦定理得

sinB

AC

=

sinC

AB

，即ABsinB=ACsinC，所以

BM

CM

=1．

解答：解：如圖，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、N是切點，
∴∠BDO=∠BNO=90°，
∴∠BDO+∠BNO=180°，
∴B、N、O、D四點共圓，
∴∠KOD=∠B．
同理，∠KOE=∠C．
∴

S△DKO

S△EKO

=

DK

EK

=

1 2 OD•OK•sin∠KOD

1 2 OE•OK•sin∠KOE

=

sin∠KOD

sin∠KOE

=

sinB

sinC

，
∵

S△ABM

S△ACM

=

BM

CM

，
而

S△ABM

S△ACM

=

1 2 AB•AM•sin∠BAM

1 2 AC•AM•sin∠CAM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，
∴

BM

CM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，
∵

S△ADK

S△AEK

=

1 2 AD•AK•sin∠DAK

1 2 AE•AK•sin∠EAK

，
而AD=AE，
∴

S△ADK

S△AEK

=

sin∠DAK

sin∠EAK

=

DK

EK

，
∴

sinB

sinC

=

sin∠DAK

sin∠EAK

，
∴

BM

CM

=

AB

AC

•

sinB

sinC

，
∵

sinB

AC

=

sinC

AB

，即ABsinB=ACsinC，
∴

BM

CM

=1，
即M為BC的中點．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、切線長定理和正弦定理；也要會運用三角形的面積公式和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．