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【題目】如圖,在矩形ABCD中,EAB邊的中點,沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處,折痕為EC,連結AP并延長APCDF點,連結CP并延長CPADQ點.給出以下結論:

①四邊形AECF為平行四邊形;

②∠PBA=APQ;

③△FPC為等腰三角形;

④△APB≌△EPC.

其中正確結論的個數為(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】①根據三角形內角和為180°易證∠PAB+PBA=90°,易證四邊形AECF是平行四邊形,即可解題;

②根據平角定義得:∠APQ+BPC=90°,由正方形可知每個內角都是直角,再由同角的余角相等,即可解題;

③根據平行線和翻折的性質得:∠FPC=PCE=BCE,FPC≠FCP,且∠PFC是鈍角,FPC不一定為等腰三角形;

④當BP=ADBPC是等邊三角形時,APB≌△FDA,即可解題.

①如圖,EC,BP交于點G;

∵點P是點B關于直線EC的對稱點,

EC垂直平分BP,

EP=EB,

∴∠EBP=EPB,

∵點EAB中點,

AE=EB,

AE=EP,

∴∠PAB=PBA,

∵∠PAB+PBA+APB=180°,即∠PAB+PBA+APE+BPE=2(PAB+PBA)=180°,

∴∠PAB+PBA=90°,

APBP,

AFEC;

AECF,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

故①正確;

②∵∠APB=90°,

∴∠APQ+BPC=90°,

由折疊得:BC=PC,

∴∠BPC=PBC,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC=ABP+PBC=90°,

∴∠ABP=APQ,

故②正確;

③∵AFEC,

∴∠FPC=PCE=BCE,

∵∠PFC是鈍角,

BPC是等邊三角形,即∠BCE=30°時,才有∠FPC=FCP,

如右圖,PCF不一定是等腰三角形,

故③不正確;

④∵AF=EC,AD=BC=PC,ADF=EPC=90°,

RtEPC≌△FDA(HL),

∵∠ADF=APB=90°,FAD=ABP,

BP=ADBPC是等邊三角形時,APB≌△FDA,

∴△APB≌△EPC,

故④不正確;

其中正確結論有①②,2個,

故選:B.

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