【題目】兩個等腰直角三角形如圖放置,∠B=∠CAD=90°,AB=BC=cm,AC=AD,垂直于CD的直線a從點C出發(fā),以每秒cm的速度沿CD方向勻速平移,與CD交于點E,與折線BAD交于點F;與此同時,點G從點D出發(fā),以每秒1cm的速度沿著DA的方向運動;當點G落在直線a上,點G與直線a同時停止運動;設(shè)運動時間為t秒(t>0).

(1)填空:CD=_______cm;

(2)連接EG、FG,設(shè)△EFG的面積為y,求yt之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)t的取值范圍;

(3)是否存在某一時刻t(0<t<2),∠ADC的平分線DMEF于點M,是否存在點MEF的中點?若存在,求此時的t值;若不存在,請說明理由。

【答案】(1)4 ;(2);②,(3)3- .

【解析】分析:

(1)∠B=∠CAD=90°,AB=BC=cm,可得AC=4,結(jié)合AC=AD可得CD=;

(2)由題意可知,當直線a過點A時,t=2,當直線a過點G時,t=;因此需分0<t≤22<t<(當t=,運動停止了兩段分別進行討論,畫出對應(yīng)的圖形如下圖1和圖2,作出如圖所示的輔助線,結(jié)合已知條件分析、計算即可得到對應(yīng)的yt的函數(shù)關(guān)系式;

(3)如圖3,當DM平分∠ADC時,延長DMAB的延長線于點Q,過點DDN⊥AB,并交BA的延長線于點N,由已知條件易得AQ=AD,AN=DN,由此即可求得QN的長,結(jié)合EM=EF=DN、EF∥DN可得DF=EN=再由CF=CD-DF即可求得CF的長,由此即可求得對應(yīng)的t的值.

詳解

(1)∵在△ABC中,AB=CB=,∠ABC=90°,

∴AC=,

△ACD,AC=AD,∠CAD=90°,

∴CD=

(2)由題意可得,t=2時,直線a過點A;點G在水平方向上的移動速度為cm/秒,由此可得當t=,直線a過點G;由此可分以下兩種情況討論yt間的函數(shù)關(guān)系:

如圖1,,過點GGM⊥CD于點M,GH⊥EF于點H,由題意可得EF=BC=,CE=,MD=GD=,GH=ME,

∴GH=CD-CE-MD=,

∴y=S△EFG=EF·GH=),

;

如圖2,當時,過點GGN⊥CD于點N,由題意可得EF=DF=CD-CF=,GN=DN=DG=

∴FN=CD-CF-DN=,

∴y=SEFG=EF·FN=,

化簡整理得:當,;

綜上所述,yt間的函數(shù)關(guān)系式為:;②,;

(3)存在符合要求的點M,如圖3,DM平分∠ADC時,延長DMAB的延長線于點Q,過點DDN⊥AB,并交BA的延長線于點N,

∵∠B=∠CAD=90°,AB=BC,AC=AD,

∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=45°,

∴∠BCD=90°,

∴∠ABC+∠BCD=180°,

∴AB∥CD,

∴∠Q=∠CDQ,∠DAN=∠ADC=45°,

∵DM平分∠ADC,DN⊥AB于點N,

∴∠ADQ=∠CDQ=∠Q,∠DAN=∠ADN=45°,

∴AQ=AD=4,AN=DN=AD=

∴QN=AQ+AN=,

由題意可知EF⊥AB,又∵AB∥CD,DN⊥AB,

可得四邊形EFDN是矩形,

∴EF=DN,EN=DF,

∵MEF的中點,

∴EM=EF =DN,

∵DF∥DN,

∴△QEM∽△QNB,

∴QE:QN=EM:DN=1:2,

∴QE=QN=

∴DF=EN=QN-QE=,

∴CF=CD-DF=

.

練習冊系列答案
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【題目】甲、乙兩校參加數(shù)學競賽,兩校參加初賽的人數(shù)相等.初賽結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)學生成績分別為 70 分、80 分、90 分、100 分.依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.

甲校成績統(tǒng)計表:

分數(shù)

70

80

90

100

人數(shù)

11

0

8

(1)在圖 1 中,“80所在的扇形的圓心角等于 度;

(2)請將甲校成績統(tǒng)計表和圖 2 的乙校成績條形統(tǒng)計圖補充完整;

(3)計算乙校的平均分和甲校的中位數(shù);

(4)如果縣教育局要組織 8 人的代表隊參加市級復賽(團體賽),為了便于管理,決定從這兩所學校中的一所挑選參賽選手,你認為應(yīng)選哪個學校?請簡要說明理由.

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(2)請將頻數(shù)分布直方圖補充完整;

(3)求扇形統(tǒng)計圖中部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù).

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(1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時,求∠CC1A1的度數(shù);

(2)如圖2,連接AA1,CC1.若△ABA1的面積為4,求△CBC1的面積;

(3)如圖3,點E為線段AB中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC 繞點 B 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中,點P的對應(yīng)點是點P1,求線段EP1長度的最大值與最小值.

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(3)如圖,在第二問的基礎(chǔ)上,在拋物線上有一點C(x,y),連接AC、OC、BC、PC,當△OAC的面積等于△BCP的面積時,求C的橫坐標

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