Question

如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AD=20cm、AB=10cm．M點從D到A，P點從B到C，兩點的速度都為2cm/s；N點從A到B，Q點從C到D，兩點的速度都為1cm/s．若四個點同時出發(fā)．
（1）判斷四邊形MNPQ的形狀．
（2）四邊形MNPQ能為菱形嗎？若能，請求出此時運動的時間；若不能，說明理由．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)和勾股定理判定四邊形MNPQ的兩組對邊相等，則該四邊形為平行四邊形；
（2）利用菱形是鄰邊相等的平行四邊形來求運動時間．

解答：（1）解：四邊形MNPQ是平行四邊形． 理由如下：
在矩形ABCD中，AD=BC=20cm，AB=CD=10cm，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
設(shè)運動時間為t秒，則AN=CQ=t cm，BP=DM=2t cm．
∴BN=DQ=（10-t）cm，CP=AM=（20-2t）cm．
由勾股定理可得，NP=

BP2+BN2

，MQ=

DM2+DQ2

∴NP=MQ．
同理，可得MN=PQ．
∴四邊形MNPQ是平行四邊形．

（2）能．理由如下：
∵當四邊形MNPQ能為菱形時，NP=QP，
∴

BP2+BN2

=

PC2+QC2

，∴

4t2+(10-t)2

=

(20-2t)2+t2

，
解得 t=5．
即四邊形MNPQ能為菱形時，運動時間是5 s．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理和菱形的判定．在解答（1）題時，也可以利用全等三角形的判定與性質(zhì)來證得四邊形MNPQ的兩組對邊相等．