Question

如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA平分 ∠BAC．

（1）求證：OC平分∠ACD；

（2）求證：AB+CD=AC．

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；

（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AE，CD=CE，然后證明即可．

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，

∴OB=OE，

∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，

∴OB=OD，

∴OE=OD，

∴OC平分∠ACD；

（2）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，

∴AB=AE，

同理可得CD=CE，

∵AC=AE+CE，

∴AB+CD=AC．

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)．