【題目】對稱變換和平移變換在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用,特別是在解決有關(guān)最值問題時,更是我們常用的思維方法,請你利用所學(xué)知識解決下列問題:
(1)如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(0,1),點B(2,1),點P在x軸上運動,當(dāng)PA+PB的值最小時,點P的坐標(biāo)是 ;(請直接寫出答案)
(2)如圖②,AD⊥l于點D,BC⊥l于點C,且AD=2,AB=BC=4,當(dāng)點P在直線l上運動時,PA+PB的最小值是 ;(請直接寫出答案)
(3)如圖③,直線a∥b,且a與b之間的距離為1,點A到直線a的距離為2,點B到直線b的距離為2,且AB=,問:在直線a上是否存在點C,在直線b上是否存在點D,使得CD⊥a,且AC+CD+DB的值最?若存在,請求出AC+CD+DB的最小值;若不存在,請說明理由.
(4)如圖④,在平面直角坐標(biāo)系中,A(6,0),B(6,4),線段CD在直線y=x上運動,且CD=2,則四邊形ABCD周長的最小值是 ,此時點D的坐標(biāo)為 .(請直接寫出答案)
【答案】(1)(1,0);(2)4;(3)存在,6;(4)6+4,(3,3)
【解析】
(1)如圖1,作點A關(guān)于x軸的對稱點,連接 交x軸于點P,則點P為所求點,然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式,然后令 即可求出x的值,從而可確定P的坐標(biāo);
(2)如圖2,作點A關(guān)于直線l的對稱點,連接交直線l于點P,則點P為所求點,利用矩形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)而求解即可;
(3)如圖3,將點A向下平移1個單位得到,連接交直線b于點D,過點D作DC⊥a于點C,連接AC,則點C、D為所求點,然后利用勾股定理求出的長度,進(jìn)而求解;
(4)如圖4,將點A沿y=x方向向右平移2個單位得到,作點關(guān)于直線y=x的對稱點,連接交直線y=x于點C,將點C沿直線向下平移2個單位得到點C,則點C、D為所求點,首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形ABCD周長=4+2+為最小,然后利用勾股定理即可求出的值,進(jìn)而可求出周長的最小值,然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式,進(jìn)而可求出C的坐標(biāo),從而D的坐標(biāo)可求 .
解:(1)如圖1,作點A關(guān)于x軸的對稱點,連接交直線l于點P,則點P為所求點,
∵點 、A關(guān)于x軸對稱,,
, ,
∴為最。
設(shè)直線的表達(dá)式為:y=kx+b,
將點 代入得
,解得:,
故直線的表達(dá)式為:y=x﹣1,
當(dāng)y=0時,x=1,故點P(1,0);
故答案為:(1,0);
(2)如圖2,作點A關(guān)于直線l的對稱點,連接交直線l于點P,則點P為所求點,過點作交BC的延長線于點H,
∵點 、A關(guān)于x軸對稱,
,
∴為最;
過點A作AM⊥BC于點M,
,
∴ ,
∴四邊形ADCM是矩形,
∴,
同理, ,
∴BM=BC﹣CM=BC﹣AD=4﹣2=2.
在Rt△ABM中,AM2=AB2﹣BM2=16﹣4=12= ,
BH=CH+BC=+BC=2+4=6,
在中,
;
即PA+PB的最小值為4,
故答案為:4;
(3)存在,理由:
如圖3,將點A向下平移1個單位得到,連接交直線b于點D,過點D作DC⊥a于點C,連接AC,則點C、D為所求點,
∵,且,
∴四邊形為平行四邊形,
∴,
∴ 為最。
過點 、A分別作直線a的平行線,分別交過點B與a的垂線于點G、H,則四邊形為矩形,
∵BH=2+1+2=5,AB=,則AH==3,
在中,,BG=2+1+1=4,
,
∴,
∴AC+CD+DB最小值為6;
(4)如圖4,將點A沿y=x方向向右平移2個單位長度得到,作點關(guān)于直線y=x的對稱點,連接交直線y=x于點C,將點C沿直線向下平移2個單位長度得到點D,則點C、D為所求點.
連接AD、,
設(shè)C的坐標(biāo)為 ,
∵ ,
,
,
∴如果沿著直線向上平移個單位長度,相當(dāng)于向右平移2個單位,再向上平移2個單位.
∵,
.
∵點和點關(guān)于對稱,
.
∵,
∴四邊形為平行四邊形,
∴.
,
.
,
,
∴四邊形ABCD周長=AB+CD+BC+AD=AB+CD+BC+=4+2+為最。
∵==4,
故四邊形ABCD周長最小值為:64.
設(shè)直線的解析式為,
將代入解析式中得
解得
∴直線解析式為 .
,解得:,
故點C(5,5),
而CD=2,
∴點D可以看成點C向左平移2個單位長度,再向下平移2個單位長度得到的,
∴點D(3,3),
故答案為:6+4;(3,3).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,點E從點A出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿對角線AC向終點C運動,點F從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿邊BA向終點A運動,連結(jié)EF,將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FG,以EF,FG為邊作正方形EFGH,設(shè)點E運動的時間為t秒(t>0).
(1)用含t的代數(shù)式表示點E到邊AB的距離.
(2)當(dāng)點G落在邊AB上時,求t的值.
(3)連結(jié)BG,設(shè)△BFG的面積為S平方單位(S>0),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)直接寫出當(dāng)正方形EFGH的頂點與點B,D距離相等時的t值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,動點P從A點出發(fā),以1cm/s的速度,沿A—C—B向B點運動,同時,動點Q從C點出發(fā),以2cm/s的速度,沿C—B—A向A點運動,當(dāng)其中一點運動到終點時,兩點同時停止運動。設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t=_______秒時,△PCQ的面積等于8cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AD=CD+AB,∠BAC=45°,E是BC上一點,且∠DAE=45°,若BC=8,則△ADE面積為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=10,AC=2,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于_______.
【答案】10或6
【解析】試題解析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,
如圖1所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,
此時BC=BD+CD=8+2=10;
如圖2所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,
此時BC=BD-CD=8-2=6,
則BC的長為6或10.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)y=2x+1的圖象經(jīng)過P1(x1,y1)、P2(x2,y2)兩點,若x1<x2,則y1 ______ y2.(填“>”“<”或“=”)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年1月,市教育局在全市中小學(xué)中選取了63所學(xué)校從學(xué)生的思想品德、學(xué)業(yè)水平、學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)、身心發(fā)展和興趣特長五個維度進(jìn)行了綜合評價.評價小組在選取的某中學(xué)七年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,了解他們每天在課外用于學(xué)習(xí)的時間,并繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖. 根據(jù)上述信息,解答下列問題:
(1)本次抽取的學(xué)生人數(shù)是 ______ ;扇形統(tǒng)計圖中的圓心角α等于 ______ ;補(bǔ)全統(tǒng)計直方圖;
(2)被抽取的學(xué)生還要進(jìn)行一次50米跑測試,每5人一組進(jìn)行.在隨機(jī)分組時,小紅、小花兩名女生被分到同一個小組,請用列表法或畫樹狀圖求出她倆在抽道次時抽在相鄰兩道的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=ax+b(a、b是常數(shù),a≠0)函數(shù)圖象經(jīng)過(﹣1,4),(2,﹣2)兩點,下面說法中:(1)a=2,b=2;(2)函數(shù)圖象經(jīng)過(1,0);(3)不等式ax+b>0的解集是x<1;(4)不等式ax+b<0的解集是x<1;正確的說法有____________________.(請寫出所有正確說法的序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(探索新知)
如圖1,點C在線段AB上,圖中共有3條線段:AB、AC和BC,若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍,則稱點C是線段AB的“二倍點”.
(1)一條線段的中點 這條線段的“二倍點”;(填“是”或“不是”)
(深入研究)
如圖2,若線段AB=20cm,點M從點B的位置開始,以每秒2cm的速度向點A運動,當(dāng)點M到達(dá)點A時停止運動,運動的時間為t秒.
(2)問t為何值時,點M是線段AB的“二倍點”;
(3)同時點N從點A的位置開始,以每秒1cm的速度向點B運動,并與點M同時停止.請直接寫出點M是線段AN的“二倍點”時t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來霧霾天氣給人們的生活帶來很大影響,空氣質(zhì)量問題倍受人們關(guān)注.某單位計劃在室內(nèi)安裝空氣凈化裝置,需購進(jìn)A、B兩種設(shè)備.每臺B種設(shè)備價格比每臺A種設(shè)備價格多0.7萬元,花3萬元購買A種設(shè)備和花7.2萬元購買B種設(shè)備的數(shù)量相同.
(1)求A種、B種設(shè)備每臺各多少萬元?
(2)根據(jù)單位實際情況,需購進(jìn)A、B兩種設(shè)備共20臺,總費用不高于15萬元,求A種設(shè)備至少要購買多少臺?
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