【題目】如圖,有一拱橋的橋拱是圓弧形,已知橋拱的水面跨度AB(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為8米,拱高CD(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為2米.

1)求橋拱所在圓的半徑長(zhǎng);

2)如果水面AB上升到EF時(shí),從點(diǎn)E測(cè)得橋頂D的仰角為α,且cotα3,求水面上升的高度.

【答案】1)橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米;(2)水面上升的高度為1

【解析】

1)根據(jù)點(diǎn)D 中點(diǎn), CAB中點(diǎn),聯(lián)結(jié)OA,設(shè)半徑OAODR,OCODDCR2,在RtACO中,由勾股定理求出半徑.

(2) 設(shè)ODEF相交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)OE,由EFAB,ODAB,得到ODEF,進(jìn)而找出EG3DG,設(shè)水面上升的高度為x米,即CGx,則DG2x,在RtEGO中根據(jù)勾股定理求出x即可.

解:(1)∵點(diǎn)D 中點(diǎn),,

ACBC,DC經(jīng)過(guò)圓心,

設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O,

AB8,

ACBC4,

聯(lián)結(jié)OA,設(shè)半徑OAODROCODDCR2,

ODAB

∴∠ACO90°,

RtACO中,∵OA2AC2+OC2,

R2=(R22+42,

解之得R5

答:橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米.

2)設(shè)ODEF相交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)OE,

EFABODAB,

ODEF,

∴∠EGD=∠EGO90°,

RtEGD中, ,

EG3DG,

設(shè)水面上升的高度為x米,即CGx,則DG2x,

EG63x

RtEGO中,∵EG2+OG2OE2,

∴(63x2+3+x252,

化簡(jiǎn)得 x23x+20,解得 x12(舍去),x21

答:水面上升的高度為1米.

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1)如圖1,若將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接AD,則△ABD的面積為   

2)如圖2,點(diǎn)PCA延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BP,以P為直角頂點(diǎn),BP為直角邊作等腰直角△BPQ,連接AQ,求證:ABAQ

3)如圖3,點(diǎn)E,F為線段BC上兩點(diǎn),且∠CAF=∠EAF=∠BAE,點(diǎn)M是線段AF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,N,使CM+NM的值最小,若存在,求出最小值:若不存在,說(shuō)明理由.

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1)求證:∠BAE=∠CAF

2)若AB8,AC6,AG5,求AF的長(zhǎng).

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【題目】已知:△ABCAB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AB(點(diǎn)E不與點(diǎn)AB重合),點(diǎn)F在邊AC上,聯(lián)結(jié)DE、DF

1)如圖1,當(dāng)∠EDF=90°時(shí),求證:BE=AF

2)如圖2,當(dāng)∠EDF=45°時(shí),求證:

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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD =8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC

重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為( )

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

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(1)求證:∠C=90°;

(2)當(dāng)BC=3,sinA=時(shí),求AF的長(zhǎng).

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1)如圖①,求證:;

2)如圖②,連接的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);

3)如圖③,過(guò)點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的面積.

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