【題目】已知在⊙O中,直徑AB⊥弦CD于G,E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)
(1)如圖1,BE交⊙O于點(diǎn)F,求證:∠EFC=∠BFD;
(2)如圖2,當(dāng)CD也是直徑,EF切⊙O于F,連接DF.若tan∠D=,求sin∠E的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)連接AD,BD,由圓的性質(zhì)可得∠CFE=∠EDB,再證明∠ADB=∠AGD=90°,可得∠DAB=∠GDB,則∠EFC=∠BFD得證;
(2)證明△CEF∽△FED,可得EF2=CEDE,設(shè)CF=a,則DF=3a,由勾股定理可得CD=,設(shè)CE=x,則EF=3x,可求出CE=和EF=,可用a表示OF的長(zhǎng),則sin∠E的值可求出.
(1)證明:如圖1,連接AD,BD,
∵四邊形CDBF為圓內(nèi)接四邊形,
∴∠CFE=∠EDB,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°,
∵AB⊥CD,
∴∠AGD=90°,
∴∠GDB+∠ABD=90°,
∴∠DAB=∠GDB,
∴∠DAB=∠CFE,
∵∠DAB=∠BFD,
∴∠EFC=∠BFD;
(2)解:如圖2,連接OF,CF,
∵EF是⊙O的切線,
∴OF⊥EF,
∴∠EFO=90°,
∵CD是⊙O的直徑,
∴∠CFD=90°,
∴∠EFC=∠OFD,
∵OF=OD,
∴∠ODF=∠OFD,
∴∠ODF=∠EFC,
∵∠CEF=∠FED,
∴△CEF∽△FED,
∴,
∴EF2=CEDE,
∵tan∠D==,
設(shè)CF=a,則DF=3a,由勾股定理可得CD=,
設(shè)CE=x,則EF=3x,
∴,
解得:x=,
∴,
∴OE=CE+OC=,
∴==,
∴sin∠E=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】張老師為了了解班級(jí)學(xué)生完成數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)的具體情況,對(duì)本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查.他將調(diào)查結(jié)果分為四類:A:很好;B:較好;C:一般;D:較差,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)計(jì)算出A類男生和C類女生的人數(shù),并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(2)為了共同進(jìn)步,張老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機(jī)機(jī)抽取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一男一女同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著生活水平的提高,人們對(duì)飲水品質(zhì)的需求越來(lái)越高,某公司根據(jù)市場(chǎng)需求代理A,B兩種型號(hào)的凈水器,每臺(tái)A型凈水器比每臺(tái)B型凈水器進(jìn)價(jià)多200元,用5萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A型凈水器與用4.5萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)B型凈水器的數(shù)量相等
(1)求每臺(tái)A型、B型凈水器的進(jìn)價(jià)各是多少元?
(2)該公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A,B兩種型號(hào)的凈水器共50臺(tái)進(jìn)行試銷,其中A型凈水器為x臺(tái),購(gòu)買資金不超過(guò)9.8萬(wàn)元,試銷時(shí)A型凈水器每臺(tái)售價(jià)2500元,B型凈水器每臺(tái)售價(jià)2180元,公司決定從銷售A型凈水器的利潤(rùn)中按每臺(tái)捐獻(xiàn)a元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金.若公司售完50臺(tái)凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的最大利潤(rùn)不低于20200元但不超過(guò)23000元,求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直線OB于E,D,連接EC,CD.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)若tan∠CED=,⊙O的半徑為3,求OA的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖,將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的拋物線,平移后的拋物線與軸分別交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn).
(1)請(qǐng)你直接寫出拋物線的解析式;(寫出頂點(diǎn)式即可)
(2)求出,,三點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在軸上存在一點(diǎn),使的值最小,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】教練想從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加射擊錦標(biāo)賽,故先在射擊隊(duì)舉行了一場(chǎng)選拔比賽.在相同的條件下各射靶次,每次射靶的成績(jī)情況如圖所示.
甲射靶成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖 | 乙射靶成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖 |
()請(qǐng)你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)填寫下表:
平均數(shù) | 眾數(shù) | 方差 | |
甲 | __________ | ||
乙 | __________ | __________ |
()根據(jù)選拔賽結(jié)果,教練選擇了甲運(yùn)動(dòng)員參加射擊錦標(biāo)賽,請(qǐng)給出解釋.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,點(diǎn)E,F分別在邊BC,AC上,沿EF所在的直線折疊∠C,使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上,若△EFC和△ABC相似,則BD的長(zhǎng)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)畫出△ABC向上平移5個(gè)單位后的△A2B2C2,并求出平移過(guò)程中△ABC掃過(guò)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與x軸,y軸的交點(diǎn)分別是A(﹣4,0),B(0,2).與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P滿足:①PA⊥x軸;②PO=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則四邊形PAQO的面積為( )
A.7B.10C.4+2D.4﹣2
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