Question

如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CB—BA向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)．

（1）點(diǎn)P將要運(yùn)行路徑AD的長(zhǎng)度為 ；點(diǎn)Q將要運(yùn)行的路徑折線CB—BA的長(zhǎng)度為 .

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量t的取范圍；

②求當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

（3）如圖2，若點(diǎn)Q的速度為每秒a個(gè)單位長(zhǎng)（a≤），當(dāng)t =4秒時(shí)：

①此時(shí)點(diǎn)Q是在邊CB上，還是在邊BA上呢？

②△APQ是等腰三角形，請(qǐng)求出a的值．

 

 

Answer 1

（1）5；10；（2） (≤t＜5)；，6；（3）CB，．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，再根據(jù)勾股定理即可求出菱形的邊長(zhǎng)；

（2）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，由題意，得AP=t，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，由直角三角形的性質(zhì)求出BE的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可得到S與t的關(guān)系式；

②當(dāng)≤t＜5時(shí)，點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)，由題意，得AP=t，AQ=10-2t，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出S關(guān)于t的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答即可；

（3）先判斷出等腰三角形的兩腰長(zhǎng)，過點(diǎn)Q作QM⊥AP，垂足為點(diǎn)M，QM交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，進(jìn)而可得出a的值．

試題解析：（1）5；10

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，5≤2t＜10，即≤t＜5時(shí).

如圖,過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE.

由題意可得BE=， AP= t，AQ=10－2t．

∴△AQG∽△ABE, ∴,

∴QG=．

∴，

即 (≤t＜5) ．

∵＜0,所以s有最大值.

∴當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為6．

（3） 【解析】
∵a≤，則4a≤5，

∴點(diǎn)Q在CB上，

作QM⊥AD于M，QM交AC于點(diǎn)F,則QM為菱形的高.

由前面可知，QM==4.8

而當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)行到點(diǎn)M時(shí)，QM最小，

所以PQ≥QM，

∵t=4時(shí)，PA=4，∴QM>PA.

∴PQ≥MQ＞PA，類似的AQ＞MQ＞PA

∴QA=QP，△APQ是等腰三角形．

∵QM⊥AP

∴AM=AP=2.由△AMF∽△AOD

得, 而AM=2,OD=3,OA=4

∴,

∴．

由△AMF∽△CQF,

,而QF=，FM=，AM=2.

∴CQ=．

而當(dāng)t=4時(shí)，CQ=4a

所以4a= ，解得a=．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)；2.相似三角形的判定與性質(zhì).