Question

已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，EF交AD于點G．
（1）判斷AD與EF的位置關系，并加以說明理由．
（2）若AE=

5

，DE=2，求EF的長．

Answer 1

考點：勾股定理,角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證得點A、D在線段EF的垂直平分線上；
（2）根據(jù)勾股定理得到AD=3，由面積法求得EG=

2 5

3

，從而求得EF=

4 5

3

．

解答：（1）解：AD⊥EF．理由如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在線段EF的垂直平分線上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD   DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG，
∴EG=GF，∠AGE=∠AGF=90°，
∴AD是線段EF的垂直平分線．
∴EF⊥AD；

（2）在直角△AED中，根據(jù)勾股定理，得
AD=3．
∵

1

2

AE•DE=

1

2

AD•EG，
∴EG=

2 5

3

，
∴EF=2EG=

4 5

3

．

點評：本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)．找到Rt△AED和Rt△ADF，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關系，即可證明．